Задачи по функциональному анализу

[1379/32%]

П. А. Бородин, А. М. Савчук, И. А. Шейпак

Глава

1 · Метрические пространства[74/32%]

§1.1 · Основные понятия и свойства[18/39%]

§1.2 · Последовательности в метрических пространствах. Полнота[21/38%]

§1.3 · Всюду плотные множества. Теорема Бэра[17/18%]

§1.4 · Отображения метрических пространств[8/25%]

§1.5 · Теорема о неподвижной точке[10/40%]

Глава

2 · Нормированные пространства[98/29%]

§2.1 · Основные понятия и свойства. Примеры нормированных пространств[18/17%]

§2.2 · Множества и последовательности в нормированных пространствах. Подпространства[26/50%]

§2.3 · Банаховы пространства[32/22%]

§2.4 · Конструкции банаховых пространств. Прямые суммы подпространств[12/25%]

§2.5 · Сепарабельность нормированных пространств[10/20%]

Глава

3 · Гильбертовы пространства[71/31%]

§3.1 · Основные понятия и свойства. Примеры евклидовых и гильбертовых пространств[20/5%]

§3.2 · Множества в гильбертовых пространствах[24/46%]

§3.3 · Ортонормированные системы и базисы в гильбертовых пространствах[27/37%]

Глава

4 · Компактные множества[63/32%]

§4.1 · Свойства компактных множеств[38/16%]

§4.2 · Компактные множества в конкретных нормированных пространствах[25/56%]

Глава

5 · Линейные непрерывные функционалы[81/32%]

§5.1 · Основные свойства. Вычисление норм[23/26%]

§5.2 · Теорема Хана—Банаха[17/18%]

§5.3 · Сопряжённые пространства[26/54%]

§5.4 · Второе сопряжённое пространство. Рефлексивность[15/20%]

Глава

6 · Линейные операторы[100/46%]

§6.1 · Определения и основные примеры операторов[41/59%]

§6.2 · Различные свойства операторов[20/35%]

§6.3 · Операторы в гильбертовых пространствах[15/40%]

§6.4 · Пространство операторов[15/40%]

§6.5 · Дифференцирование в банаховых пространствах[9/33%]

Глава

7 · Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость векторов, функционалов и операторов[78/24%]

§7.1 · Теорема Банаха—Штейнгауза[6/17%]

§7.2 · Слабая сходимость: основные свойства. Критерии слабой сходимости[30/23%]

§7.3 · *-слабая сходимость в сопряжённом пространстве[22/23%]

§7.4 · Различные виды сходимости в пространстве операторов[20/30%]

Глава

8 · Сопряжённые операторы[81/41%]

§8.1 · Сопряжённые операторы в банаховом пространстве[14/50%]

§8.2 · Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Унитарные и нормальные операторы[67/39%]

Глава

9 · Обратный оператор[59/41%]

§9.1 · Теорема Банаха об обратном операторе. Примеры[35/51%]

§9.2 · Свойства обратимых операторов[24/25%]

Глава

10 · Базисы[64/22%]

§10.1 · Полные и минимальные системы векторов[20/35%]

§10.2 · Базисы Шаудера[32/22%]

§10.3 · Базисы в гильбертовых пространствах[12/0%]

Глава

11 · Компактные операторы и теория Фредгольма[100/30%]

§11.1 · Общие свойства компактных операторов[29/21%]

§11.2 · Компактные операторы в конкретных пространствах[19/26%]

§11.3 · Компактные операторы в гильбертовых пространствах[16/25%]

§11.4 · Теория Фредгольма[25/20%]

§11.5 · Интегральные уравнения[11/91%]

Глава

12 · Основы спектральной теории ограниченных операторов в банаховых пространствах[111/32%]

§12.1 · Спектр[58/29%]

§12.2 · Спектр компактного оператора[19/47%]

§12.3 · Теорема Гильберта—Шмидта[32/22%]

§12.4 · Основные типы операторов на примерах[2/100%]

Глава

13 · Функциональное исчисление и спектральная теорема[89/37%]

§13.1 · Функциональное исчисление ограниченного оператора[16/56%]

§13.2 · Функциональное исчисление, построенное по самосопряжённому оператору[21/19%]

§13.3 · Спектральная теорема в терминах интеграла Лебега—Стилтьеса[25/32%]

§13.4 · Спектральная теорема в терминах оператора умножения[27/44%]

Глава

14 · Топологические, линейные топологические и полинормированные пространства[129/21%]

§14.1 · Топологические пространства[31/32%]

§14.2 · Линейные топологические пространства[21/33%]

§14.3 · Локально выпуклые пространства как полинормированные пространства[43/12%]

§14.4 · Слабая топология в нормированном пространстве[14/21%]

§14.5 · *-слабая топология в сопряжённом пространстве[20/10%]

Глава

15 · Пространства пробных (основных) функций[34/26%]

Глава

16 · Обобщенные функции[52/35%]

§16.1 · Основные понятия[26/35%]

§16.2 · Операции над обобщёнными функциями[26/35%]

Глава

17 · Преобразование Фурье[40/28%]

§17.1 · Преобразование Фурье обычных функций[33/24%]

§17.2 · Преобразование Фурье обобщённых функций[7/43%]

Глава

18 · Свёртка[37/30%]

§18.1 · Свёртка функций в

L^1(\mathbb{R})

[15/27%]

§18.2 · Оператор свёртки в

L^2(\mathbb{R})

[5/60%]

§18.3 · Свёртка обобщённых функций[17/24%]

Глава

19 · Обобщённые функции нескольких переменных[18/67%]

§19.1 · Дополнительные операции над обобщёнными функциями[8/75%]

§19.2 · Фундаментальные решения[10/60%]