Фундаментальные решения

Доказать, что решение уравнения $L u = v$ ($v \in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R}^{n})$ — заданная функция) может быть найдено в виде $u = E * v$, где $E$ — фундаментальное решение оператора $L$ (если эта свёртка существует).

Доказать, что фундаментальное решение для оператоpa $L y = y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots +a_{0} y$ в $\mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$, где $a_{k} \in \mathbb {C}$, имеет вид $\theta (x) y_{0}(x)$, где $y_{0}$ — решение уравнения $L y = 0$ с начальными условиями $y_{0}(0) = y_{0}^{\prime }(0) = \ldots = y_{0}^{(n-2)}(0) = 0, y_{0}^{(n-1)}(0) = 1$.

Найти фундаментальное решение оператора $L$ :

Пусть $l(y) = y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots +a_{0} y$ — дифференциальное выражение с постоянными коэффициентами $a_{k} \in \mathbb {C}$. Определим оператор $A \in \mathcal{B}(C[0,1]), A: x \mapsto y$, как решение дифференциального уравнения $l(y) = x$ с начальными условиями $y(0) = y^{\prime }(0) = \ldots = y^{(n-1)}(0) = 0$. Доказать, что $A$ есть интегральный оператор, т. е. $(A x)(t) = \int_{0}^{1} K(t, s) x(s) d s$. Найти функцию $K(t, s), \operatorname {Ker} A$ и $\operatorname {Im} A$.

Найти фундаментальное решение для оператора Коши—Римана $\frac{\partial }{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}+i \frac{\partial }{\partial y}\right)$.

Найти фундаментальное решение для оператора Лапласа $\Delta = \frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\ldots +\frac{\partial^{2}}{\partial x_{n}^{2}}, n \geqslant 2$.

Доказать, что фундаментальное решение дифференциального оператора с постоянными коэффициентами не может иметь компактный носитель.

Доказать, что решение задачи Коши $L[u(t, x)] = 0, u(0, x) = \frac{\partial u}{\partial t}(0, x) = \ldots = \frac{\partial^{m-2} u}{\partial t^{m-2}}(0, x) = 0, \frac{\partial^{m-1} u}{\partial t^{m-1}}(0, x) = v(x) \quad$ ($v \in \mathcal{E}^{\prime }(\mathbb {R}^{n})$ — заданная функция) может быть найдено в виде $u = E(t, x) * v(x)$, где $E$ — фундаментальное решение задачи Коши для оператора $L$ (свёртка берётся по переменным $x$).

Найти фундаментальное решение задачи Коши для операторов

Найти решение $E(t, x)$ задачи Коши $L(E) = 0, E(0, x) = \delta (x)$, для оператора $L = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}$, удовлетворяющее условию $E(t, \cdot ) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$. $\downarrow$