17.2

Преобразование Фурье обобщённых функций

[7/43%]
Показать
LaTeX
Задача 17.34

Доказать, что формула (17.1) определяет непрерывный изоморфизм пространства S′\mathcal{S}^{\prime }, а обратный оператор задается равенством ⟨F^−1f,φ⟩=⟨f,F^−1φ⟩\left\langle \hat{F}^{-1} f, \varphi \right\rangle = \left\langle f, \hat{F}^{-1} \varphi \right\rangle.

?
Задача 17.35

Доказать, что если f∈S′f \in \mathcal{S}^{\prime } — регулярная обобщённая функция, порождённая некоторой функцией g∈Sg \in \mathcal{S}, то преобразование Фурье F^f\hat{F} f, определённое по формуле (17.1), есть регулярная обобщённая функция, порождённая функцией g^\hat{g}.

?
Задача 17.36

Доказать свойства (1)-(3) преобразования Фурье обобщённых функций из S′\mathcal{S}^{\prime }.

?
Задача 17.37

Доказать, что формулы (17.2) и (17.3) определяют непрерывные операторы из D′\mathcal{D}^{\prime } в Z′\mathcal{Z}^{\prime }. Чем отличаются преобразования Фурье, определяемые по этим формулам?

?
Задача 17.38

Доказать, что обобщённая функция f∈Z′f \in \mathcal{Z}^{\prime } аналитична в следующем смысле:

f(z+h)=∑k=0∞f(k)(z)hkk!,z,h∈C f(z+h) = \sum _{k = 0}^{\infty } f^{(k)}(z) \frac{h^{k}}{k!}, \quad z, h \in \mathbb {C}

где ряд в правой части равенства сходится в смысле Z′\mathcal{Z}^{\prime }, а f(z+h)f(z+h) обобщённая функция в Z′\mathcal{Z}^{\prime }, определяемая формулой

⟨f(z+h),ψ(z)⟩=⟨f(z),ψ(z−h)⟩ \langle f(z+h), \psi (z)\rangle = \langle f(z), \psi (z-h)\rangle

для любой ψ∈Z\psi \in \mathcal{Z}.

?
Задача 17.39

Найти преобразование Фурье обобщённых функций в соответствующих пространствах:

?
(а)

P1x\mathcal{P} \frac{1}{x};

(б)

δ(x−a)\delta (x-a);

(в)

δ(n)(x−a)\delta^{(n)}(x-a);

(г)

1x±i0\frac{1}{x \pm i 0};

(д)

sign⁡(x)\operatorname {sign}(x);

(е)

θ(x)\theta (x);

(ж)

arctg⁡x\operatorname {arctg} x;

(з)

xarctg⁡xx \operatorname {arctg} x;

(и)

v. p. cos⁡xx\frac{\cos x}{x};

(к)

θ(x)eax,a>0\theta (x) e^{a x}, a > 0;

(л)
  • x+λx_{+}^{\lambda };
(м)
  • ln⁡x+\ln x_{+};
(н)

cos⁡(ax),a>0\cos (a x), a > 0;

(о)

sin⁡(ax),a>0\sin (a x), a > 0;

(п)

eix2e^{i x^{2}};

(р)

P1∣x∣\mathcal{P} \frac{1}{\left|x\right|}.

Задача 17.40

Найти все функции f∈S′f \in \mathcal{S}^{\prime }, удовлетворяющие уравнению:

?
(а)

xnf=0x^{n} f = 0;

(б)

xf′=0x f^{\prime } = 0;

(в)

xf=sign⁡xx f = \operatorname {sign} x;

(г)

f′+f=δ0f^{\prime }+f = \delta_{0};

(д)

f′+f=δ0′f^{\prime }+f = \delta_{0}^{\prime };

(е)

−f′′+f=iδ0-f^{\prime \prime }+f = i \delta_{0}.