Банк задач по математике

Задача 2.1

(а)(б)(в)

?

(а)

Доказать неравенство Юнга: $a b \leqslant \frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}$ , где $a \geqslant 0, b \geqslant 0$ , $p > 1, q > 1$ и $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$ . Доказать, что равенство достигается тогда и только тогда, когда $b = a^{p-1}$ .

(б)

Пусть $(M, \Sigma , \mu )$ — измеримое пространство с сигма-конечной мерой, измеримые функции $x$ и $y$ интегрируемы на $M$ по мере $\mu$ в степенях $1 < p < \infty$ и $1 < q < \infty$ соответственно, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$ . Доказать интегральное неравенство Гёльдера

\int _{M}\left|x(t) y(t)\right| d \mu \leqslant \left(\int _{M}|x(t)|^{p} d \mu \right)^{1 / p}\left(\int _{M}|y(t)|^{q} d \mu \right)^{1 / q} \tag {2.1}

Доказать, что равенство достигается тогда и только тогда, когда функции $\left|x\right|^{p}$ и $\left|y\right|^{q}$ линейно зависимы.

(в)

Пусть $(M, \Sigma , \mu )$ — измеримое пространство с сигма-конечной мерой, измеримые функции $x$ и $y$ интегрируемы на $M$ по мере $\mu$ в степени $1 \leqslant p < \infty$ . Доказать интегральное неравенство Минковского

\left(\int _{M}|x(t)+y(t)|^{p} d t\right)^{1 / p} \leqslant \left(\int _{M}|x(t)|^{p} d t\right)^{1 / p}+\left(\int _{M}|y(t)|^{p} d t\right)^{1 / p} \tag {2.2}

Доказать, что при $p > 1$ равенство в интегральном неравенстве Минковского достигается тогда и только тогда, когда функции $x$ и $y$ линейно зависимы.

Задача 2.2

(а)(б)

Придумать измеримые пространства $(M, \Sigma , \mu )$ , для которых неравенства (2.1) и (2.2) превращаются в числовые неравенства Гёльдера и Минковского $(a_{k}, b_{k} \in \mathbb {C})$ :

?

(а)

\sum _{k = 1}^{n(\infty )}\left|a_{k} b_{k}\right| \leqslant \left(\sum _{k = 1}^{n(\infty )}\left|a_{k}\right|^{p}\right)^{1 / p}\left(\sum _{k = 1}^{n(\infty )}\left|b_{k}\right|^{q}\right)^{1 / q}

(б)

\left(\sum _{k = 1}^{n(\infty )}\left|a_{k}+b_{k}\right|^{p}\right)^{1 / p} \leqslant \left(\sum _{k = 1}^{n(\infty )}\left|a_{k}\right|^{p}\right)^{1 / p}+\left(\sum _{k = 1}^{n(\infty )}\left|b_{k}\right|^{p}\right)^{1 / p}

Задача 2.3

(а)(б)

Привести примеры таких измеримых функций $x$ , что:

?

(а)

$x \notin L_{\infty }[0,1]$ ;

(б)

$x$ принадлежит $L_{\infty }[0,1]$ , но не ограничена на $[0,1]$ .

Задача 2.4

Для функций $x \in L_{1}(M, \Sigma , \mu ), y \in L_{\infty }(M, \Sigma , \mu )$ доказать неравенство $\int_{M}\left|x(t) y(t)\right| d \mu \leqslant \left\| x\right\|_{1}\left\| y\right\|_{\infty }$ .

?

Задача 2.5

Доказать, что если $x \in L_{\infty }(M, \Sigma , \mu )$ и мера $\mu$ конечна, то $\lim_{p \rightarrow \infty }\left\| x\right\|_{p} = \left\| x\right\|_{\infty }$ . В частности, для любого вектора $x \in \mathbb {C}^{n}$ выполнено

\lim _{p \rightarrow \infty }\left(\sum _{k = 1}^{n}\left|x_{k}\right|^{p}\right)^{1 / p} = \max _{1 \leqslant k \leqslant n}\left|x_{k}\right|

?

Задача 2.6

Проверить аксиомы нормы в пространствах (см. список пространств):

?

(а)

$L_{\infty }(M, \Sigma , \mu )$ ;

(б)

$C[0,1]$ ;

(в)

$C^{1}[0,1]$ ,

(г)

$B C(\mathbb {R})$ ;

(д)

$\mathcal{A C}(D)$ ;

(е)

$C_{0}(\mathbb {R})$ ;

(ж)

$C_{p}[0,1], p \in [1, \infty )$ ;

(з)

$C_{2}^{1}[0,1]$ .

Задача 2.7

Доказать, что нормы $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$ , введённые на пространстве $C^{n}[a, b]$ в списке пространств, удовлетворяют аксиомам нормы и эквивалентны.

?

Задача 2.8

Среди перечисленных ниже отображений линейного пространства непрерывно дифференцируемых на отрезке [ 0,1 ] функций выбрать отображения, удовлетворяющие аксиомам нормы, и упорядочить эти нормы по отношению подчинённости:

?

(а)

$\left\| x\right\|_{0} = \max_{t \in [0,1]}\left|x(t)\right|$ ;

(б)

$\left\| x\right\|_{1} = \max_{t \in [0,1]}\left|x^{\prime }(t)\right|$ ;

(в)

$\left\| x\right\|_{2} = \max_{t \in [0,1]}\left|x(t)\right|+\max_{t \in [0,1]}\left|x^{\prime }(t)\right|$ ;

(г)

$\left\| x\right\|_{3} = \max_{t \in [0,1]}\left|x^{\prime }(t)\right|+\left|x(a)\right|$ , где $a \in [0,1]$ ;

(д)

$\left\| x\right\|_{4} = \max_{t \in [0,1]}\left|x^{\prime }(t)\right|+\int_{0}^{1}\left|x(t)\right| d t$ ;

(е)

$\left\| x\right\|_{5} = \max_{t \in [0,1]}\left|x^{\prime }(t)\right|+\left|x(a)-x(b)\right|$ , где $a, b \in [0,1]$ .

Задача 2.9

Пусть функция $v(t)$ непрерывна и положительна на $[0,1]$ . Доказать, что отображение $F: x \mapsto \left(\int_{0}^{1} v(t)|x(t)|^{p} d t\right)^{1 / p}$ , действующее из $L_{p}[0,1]$ в $\mathbb {R}$ , где $p \in [1, \infty )$ , удовлетворяет аксиомам нормы, и эта норма эквивалентна стандартной $\left\| \cdot \right\|_{p}$ .

?

Задача 2.10

Проверить аксиомы нормы на пространстве функций ограниченной вариации $B V[0,1]$ .

?

Задача 2.11

Доказать, что все нормы $\left\| x\right\|_{a} = \operatorname {Var}_{0}^{1} x(t)+\left|x(a)\right|$ , где $0 \leqslant a \leqslant 1$ , на пространстве функций ограниченной вариации $B V[0,1]$ эквивалентны друг другу и эквивалентны норме $\left\| \cdot \right\|_{B V}$ из списка пространств.

?

Задача 2.12

Проверить аксиомы нормы в пространстве $B V_{0}[0,1]$ (см. список пространств).

?

Задача 2.13

Доказать теорему 2.1 об эквивалентности норм в конечномерном пространстве.

Теорема 2.1: если $X$ — конечномерное линейное пространство, то любые две нормы на $X$ эквивалентны, т. е. для любых норм $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$ на $X$ найдутся такие константы $c, C > 0$ , что $c\left\| x\right\|_{1} \leqslant \left\| x\right\|_{2} \leqslant C\left\| x\right\|_{1}$ для всех $x \in X$ .

?

Задача 2.14

Пусть $p$ — числовая функция на линейном пространстве $X$ , удовлетворяющая первым двум аксиомам нормы. Доказать, что третья аксиома (неравенство треугольника) эквивалентна выпуклости множества $\left\{ x \in X: p(x) \leqslant 1\right\}$ .

?

Задача 2.15

Доказать, что функция $\left\| x\right\|_{p} = \left(\sum_{k = 1}^{n}\left|x_{k}\right|^{p}\right)^{1 / p}$ не является нормой при $0 < p < 1$ на $n$ -мерном линейном пространстве при $n \geqslant 2$ . $p \leqslant q$ .

?

Задача 2.16

Найти $\inf_{x \neq 0} \frac{\left\| x\right\|_{p}}{\left\| x\right\|_{q}}$ и $\sup_{x \neq 0} \frac{\left\| x\right\|_{p}}{\left\| x\right\|_{q}}$ , где $x \in \mathbb {R}^{n}$ , для всех $p$ и $q \in [1, \infty ]$ ,

?

Задача 2.17

Доказать, что в линейном пространстве $l_{p}, 1 \leqslant p \leqslant \infty$ , нормы $\left\| \cdot \right\|_{p}$ и $\left\| \cdot \right\|_{q}, q > p$ , не эквивалентны, но $\left\| \cdot \right\|_{q} \prec \left\| \cdot \right\|_{p}$ .

?

Задача 2.18

Доказать, что нормы $\left\| \cdot \right\|_{p}$ и $\left\| \cdot \right\|_{q}, 1 \leqslant p < q \leqslant \infty$ , в линейном пространстве непрерывных на $[0,1]$ функций не эквивалентны, но $\left\| \cdot \right\|_{p} \prec \left\| \cdot \right\|_{q}$ .

?

Основные понятия и свойства. Примеры нормированных пространств