Нормированные пространства

Придумать измеримые пространства $(M, \Sigma , \mu )$, для которых неравенства (2.1) и (2.2) превращаются в числовые неравенства Гёльдера и Минковского $(a_{k}, b_{k} \in \mathbb {C})$:

Привести примеры таких измеримых функций $x$, что:

Для функций $x \in L_{1}(M, \Sigma , \mu ), y \in L_{\infty }(M, \Sigma , \mu )$ доказать неравенство $\int_{M}\left|x(t) y(t)\right| d \mu \leqslant \left\| x\right\|_{1}\left\| y\right\|_{\infty }$.

Доказать, что если $x \in L_{\infty }(M, \Sigma , \mu )$ и мера $\mu$ конечна, то $\lim_{p \rightarrow \infty }\left\| x\right\|_{p} = \left\| x\right\|_{\infty }$. В частности, для любого вектора $x \in \mathbb {C}^{n}$ выполнено

Проверить аксиомы нормы в пространствах (см. список пространств):

Доказать, что нормы $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$, введённые на пространстве $C^{n}[a, b]$ в списке пространств, удовлетворяют аксиомам нормы и эквивалентны.

Среди перечисленных ниже отображений линейного пространства непрерывно дифференцируемых на отрезке [ 0,1 ] функций выбрать отображения, удовлетворяющие аксиомам нормы, и упорядочить эти нормы по отношению подчинённости:

Пусть функция $v(t)$ непрерывна и положительна на $[0,1]$. Доказать, что отображение $F: x \mapsto \left(\int_{0}^{1} v(t)|x(t)|^{p} d t\right)^{1 / p}$, действующее из $L_{p}[0,1]$ в $\mathbb {R}$, где $p \in [1, \infty )$, удовлетворяет аксиомам нормы, и эта норма эквивалентна стандартной $\left\| \cdot \right\|_{p}$.

Проверить аксиомы нормы на пространстве функций ограниченной вариации $B V[0,1]$.

Доказать, что все нормы $\left\| x\right\|_{a} = \operatorname {Var}_{0}^{1} x(t)+\left|x(a)\right|$, где $0 \leqslant a \leqslant 1$, на пространстве функций ограниченной вариации $B V[0,1]$ эквивалентны друг другу и эквивалентны норме $\left\| \cdot \right\|_{B V}$ из списка пространств.

Проверить аксиомы нормы в пространстве $B V_{0}[0,1]$ (см. список пространств).

Доказать теорему 2.1 об эквивалентности норм в конечномерном пространстве.

Теорема 2.1: если $X$ — конечномерное линейное пространство, то любые две нормы на $X$ эквивалентны, т. е. для любых норм $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$ на $X$ найдутся такие константы $c, C > 0$, что $c\left\| x\right\|_{1} \leqslant \left\| x\right\|_{2} \leqslant C\left\| x\right\|_{1}$ для всех $x \in X$.

Пусть $p$ — числовая функция на линейном пространстве $X$, удовлетворяющая первым двум аксиомам нормы. Доказать, что третья аксиома (неравенство треугольника) эквивалентна выпуклости множества $\left\{ x \in X: p(x) \leqslant 1\right\}$.

Доказать, что функция $\left\| x\right\|_{p} = \left(\sum_{k = 1}^{n}\left|x_{k}\right|^{p}\right)^{1 / p}$ не является нормой при $0 < p < 1$ на $n$-мерном линейном пространстве при $n \geqslant 2$. $p \leqslant q$.

Найти $\inf_{x \neq 0} \frac{\left\| x\right\|_{p}}{\left\| x\right\|_{q}}$ и $\sup_{x \neq 0} \frac{\left\| x\right\|_{p}}{\left\| x\right\|_{q}}$, где $x \in \mathbb {R}^{n}$, для всех $p$ и $q \in [1, \infty ]$,

Доказать, что в линейном пространстве $l_{p}, 1 \leqslant p \leqslant \infty$, нормы $\left\| \cdot \right\|_{p}$ и $\left\| \cdot \right\|_{q}, q > p$, не эквивалентны, но $\left\| \cdot \right\|_{q} \prec \left\| \cdot \right\|_{p}$.

Доказать, что нормы $\left\| \cdot \right\|_{p}$ и $\left\| \cdot \right\|_{q}, 1 \leqslant p < q \leqslant \infty$, в линейном пространстве непрерывных на $[0,1]$ функций не эквивалентны, но $\left\| \cdot \right\|_{p} \prec \left\| \cdot \right\|_{q}$.

Найти необходимые и достаточные условия на последовательность $\left\{ a_{n}\right\}_{1}^{\infty }$, где все $a_{n} > 0$, при которых следующие множества являются ограниченными подмножествами $l_{p}, p \in [1, \infty )$ :

Найти необходимые и достаточные условия на последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$, где все $a_{n} > 0$, при которых следующие множества являются открытыми подмножествами $l_{p}, p \in [1, \infty )$ :

Доказать, что в любом нормированном пространстве найдутся два открытых непересекающихся множества, которые нельзя поместить в два непересекающихся замкнутых множества. В каждом ли метрическом пространстве существуют такие множества?

Пусть $M$ — подмножество $\mathbb {C}$. Рассмотрим множество $\mathbf{M} = \left\{ x \in C[0,1]: x(t) \in M\text{ для всех }t \in [0,1]\right\}$. Доказать, что множество М открыто (замкнуто) тогда и только тогда, когда $M$ открыто (соответственно, замкнуто).

В шаре $B(0,1)$ пространства $l_{2}$ разместить счётное число непересекающихся шаров радиуса $\frac{1}{10}$.

Привести примеры последовательностей $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ со следующими свойствами:

Пусть на линейном пространстве $X$ заданы две нормы $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$. Доказать, что следующие свойства эквивалентны:

1. $\left\| \cdot \right\|_{1} \prec \left\| \cdot \right\|_{2}$;

2. любая последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$, сходящаяся в нормированном пространстве $\left(X,\left\| \cdot \right\|_{2}\right)$ к $x$, сходится к $x$ и в $\left(X,\left\| \cdot \right\|_{1}\right)$;

3. любая последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$, фундаментальная в нормированном пространстве $\left(X,\left\| \cdot \right\|_{2}\right)$, фундаментальна и в $\left(X,\left\| \cdot \right\|_{1}\right)$;

4. замыкание произвольного множества $A \subset X$ по первой норме содержит замыкание этого множества по второй норме;

5. отображение $A: x \mapsto x$ из $(X,\left\| \cdot \right\|_{2})$ в $(X,\left\| \cdot \right\|_{1})$ непрерывно. В частности, если $\left\| \cdot \right\|_{1} \sim \left\| \cdot \right\|_{2}$, то пространства $X_{1} = \left(X,\left\| \cdot \right\|_{1}\right)$ и $X_{2} = \left(X,\left\| \cdot \right\|_{2}\right)$ изоморфны.

Доказать, что $c_{0}$ — замкнутое подпространство в $c$, а $c$ — замкнутое подпространство в $l_{\infty }$. Доказать, что $c_{00}$ есть незамкнутое линейное подпространство в пространстве $c$ и в пространстве $c_{0}$. Найти замыкание этого подпространства.

Доказать, что в пространстве $l_{p}$ линейное подпространство $l_{q} = \left\{ x \in l_{p}: \sum_{n = 1}^{\infty }\left|x_{n}\right|^{q} < \infty \right\}$, где $1 \leqslant q < p \leqslant \infty$, не является замкнутым подпространством. Найти его замыкание.

Доказать, что в нормированном пространстве шар не может содержать ненулевого линейного подпространства, а линейное подпространство, не совпадающее со всем пространством, не может содержать никакого шара.

Доказать, что для любого множества $M$ в нормированном пространстве $\operatorname {Lin}(\bar{M}) \subset \overline{\operatorname {Lin}(M)}$. Доказать, что для $M = \left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ в $l_{1}$, где $e_{n} = \left(0, \ldots , 0, \frac{1}{n}, 0,0, \ldots \right)$, эти множества различны.

Доказать, что в нормированном пространстве $X$ любое конечномерное подпространство замкнуто.

Образуют ли следующие множества непрерывных функций замкнутые подпространства в пространстве $C[-1,1]$ или $C_{2}[-1,1]$:

Образуют ли следующие множества непрерывных функций замкнутые подпространства в пространстве $B C(\mathbb {R})$ :

Является ли замкнутым линейным подпространством в пространстве $l_{p}, p \in [1, \infty ]$, множество $M = \left\{ x \in l_{p}: \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} = 0\right\}$?

Доказать, что если некоторое замкнутое подпространство в $C[0,1]$ состоит из непрерывно дифференцируемых функций, то оно конечномерно.

Доказать, что если некоторое замкнутое подпространство в $L_{1}[0,1]$ состоит из непрерывных функций, то оно конечномерно.

Привести пример такого конуса $K$ в нормированном пространстве $X$, что $K$ имеет пустую внутренность и $\operatorname {Lin}(K)$ всюду плотно в $X$. Показать, что если $\operatorname {dim} X < \infty$, то такой пример невозможен.

Какие из перечисленных ниже пространств являются строго нормированными:

Доказать, что любое равномерно выпуклое нормированное пространство является строго нормированным. Вывести отсюда, что пространства $l_{1}, l_{\infty }, c, c_{0}, L_{1}[0,1], L_{\infty }[0,1], C[0,1]$ и $B V[0,1]$ не являются равномерно выпуклыми.

Доказать, что пространства $l_{p}$ и $L_{p}, p \in (1, \infty )$, являются равномерно выпуклыми.

Доказать, что функционал Минковского $p_{A}$ выпуклого уравновешенного поглощающего множества $A$ в линейном пространстве $X$ есть полунорма. Доказать, что обратно, для любой полунормы $p$ в $X$ множество $M = \left\{ x \in X: p(x) \leqslant 1\right\}$ является выпуклым, уравновешенным и поглощающим, а его функционал Минковского $p_{M} = p$.

Пусть $A$ есть выпуклое, уравновешенное и поглощающее множество в линейном пространстве $X$. Доказать, что его функционал Минковского $p_{A}$ является нормой тогда и только тогда, когда множество $A$ не содержит ни одной прямой.

В линейном пространстве $\mathbb {R}^{2}$ найти множества, функционалы Минковского которых совпадают с нормами $\left\| \cdot \right\|_{p}$, где $p \in [1, \infty ]$.

Доказать, что правильный $2 n$-угольник с центром в нуле является единичным шаром для некоторой нормы на пространстве $\mathbb {R}^{2}$. Доказать, что правильный $(2 n+1)$-угольник с центром в нуле не является единичным шаром ни для какой нормы.

Пусть $Y$ — линейное подпространство нормированного пространства $(X,\left\| \cdot \right\| )$. Доказать, что всякая норма на $Y$, эквивалентная $\left\| \cdot \right\|$, может быть продолжена на всё $X$ с сохранением аксиом нормы и свойства эквивалентности.

Пусть нормы $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$ на линейном пространстве $X$ эквивалентны. Доказать, что нормированное пространство $(X,\left\| \cdot \right\|_{1})$ полно тогда и только тогда, когда полно нормированное пространство $\left(X,\left\| \cdot \right\|_{2}\right)$. ¹ Докажите, что если $\left\| \cdot \right\|_{1} \sim \left\| \cdot \right\|_{2}$ на $X$, то это соотношение сохранится и на пополненном пространстве.

Пусть нормированные пространства $X$ и $Y$ изоморфны. Доказать, что тогда они либо оба полны, либо оба неполны.

Доказать, что любое конечномерное нормированное пространство банахово.

Доказать полноту следующих пространств:

Доказать, что пространство $c_{00}$ не полно, и найти его пополнение (сравните с задачей 2.26).

Доказать, что пространства $C_{p}[0,1], p \in [1, \infty )$, не полны.

Доказать, что $L_{p}[0,1]$ является пополнением $C_{p}[0,1]$ при $p \in [1, \infty )$, но $L_{\infty }[0,1]$ не является пополнением пространства $C[0,1]$.

Доказать, что пространства $C_{p}^{n}[0,1], p \in [1, \infty ), n \in \mathbb {N}$, не полны.

Доказать, что пространство $A C[0,1]$ является пополнением пространства $C_{1}^{1}[0,1]$ и, согласно теореме 2.4, изоморфно пространству $W_{1}^{1}[0,1]$.

Доказать, что для любой функции $x \in W_{1}^{1}$ выполнено $\left\| x\right\|_{W_{1}^{1}} = \operatorname {Var}_{0}^{1} x+\int_{0}^{1}\left|x(t)\right| d t$.

Доказать, что для любой непрерывно дифференцируемой на отрезке $[0,1]$ функции $x(t)$ выполнено неравенство

для любого $p \in [1, \infty )$. Пользуясь этим, доказать теорему о вложении (Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтлвуд, 1928): пространство $W_{p}^{1}[0,1]$ вложено в пространство $C[0,1]$.

Доказать следующие утверждения:

Какие из следующих функций принадлежат пространству $W_{2}^{1}[-1,1]: x_{1}(t) = t, x_{2}(t) = \operatorname {sign} t, x_{3}(t) = \left|t\right|, x_{4}(t) = \left|t\right|^{a}$, где $a \in \mathbb {R}$? Для тех функций, которые принадлежат этому пространству, найти норму.

Доказать, что пространство $\mathcal{P}_{n}[0,1], n \in \mathbb {N}$, полно, а пространство $\mathcal{P}[0,1]$ неполно. Найти пополнение пространства $\mathcal{P}[0,1]$.

Найти пополнение линейного пространства многочленов на отрезке $[0,1]$ по норме пространства $B V[0,1]$.

Доказать, что на линейном пространстве многочленов нельзя так ввести норму, чтобы получилось банахово пространство.

Пусть $X$ — метрическое пространство. Обозначим через $B C(X)$ множество всех непрерывных ограниченных функций из $X$ в $\mathbb {C}$. Доказать, что норма $\left\| f\right\|_{B C(X)}: = \sup_{x \in X}\left|f(x)\right|$ превращает $B C(X)$ в банахово пространство (линейные операции вводятся естественным образом).

Пусть $X$ — метрическое пространство. Доказать, что найдётся такое отображение $F: X \rightarrow B C(X)$, что $\left\| F(x)-F(y)\right\|_{B C(X)} = \rho_{X}(x, y)$ для любых $x, y \in X$.

Доказать, что всякое конечное метрическое пространство $X$ изометрически вкладывается в пространство $l_{\infty }(n)$ для некоторого $n$.

Используя предыдущую задачу, доказать теорему 1.1.

Теорема 1.1: всякое метрическое пространство $X$ изометрически вкладывается в некоторое нормированное пространство (а именно в пространство $l_{\infty }(X)$ ограниченных функций на $X$ с sup-нормой, посредством отображения $x \mapsto f_{x}$, $f_{x}(y) = \rho (x, y) - \rho (x_{0}, y)$ при фиксированном $x_{0} \in X$).

Доказать, что следующие пространства изометрически вкладываются в $B V_{0}[0,1]$ :

Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве любая ограниченная последовательность векторов имеет хотя бы одну предельную точку.

Определить, какие из следующих последовательностей сходятся в пространстве $C[0,1]$, и найти их пределы. Для последовательностей, которые не сходятся, найти все предельные точки.

Доказать, что в банаховом пространстве любая система замкнутых вложенных шаров имеет непустое пересечение ¹.

Доказать, что нормированное пространство $X$ полно тогда и только тогда, когда в нём выполнен признак Вейерштрасса сходимости рядов: любой абсолютно сходящийся ряд сходится. Привести пример ни к чему не сходящегося, но абсолютно сходящегося ряда в неполном нормированном пространстве.

Пусть $X$ — банахово пространство. Доказать, что любое конечномерное подпространство в $X$ является подпространством существования.

Привести пример банахова пространства $X$, замкнутого линейного подпространства $Y$ в нём и вектора $x$, для которого элемент наилучшего приближения в подпространстве $Y$ не единствен.

Доказать, что в нормированном пространстве $X$ элемент наилучшего приближения единствен для всякого замкнутого линейного подпространства $Y \subset X$ тогда и только тогда, когда пространство $X$ строго нормировано (см. определение 2.4).

(П. Л. Чебышёв, 1859). Доказать, что среди всех многочленов вида $t^{n}+a_{n-1} t^{n-1}+\ldots +a_{0}$ наименьшую норму в вещественном пространстве $C[-1,1]$ имеет многочлен Чебышёва (I рода) $T_{n}(t) = 2^{1-n} \cos (n \arccos t)$.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $X_{0} \varsubsetneqq X$ — его замкнутое подпространство. Доказать, что при любом $\varepsilon > 0$ существует $\varepsilon$-перпендикуляр к $X_{0}$.

Пусть $X_{0}$ — замкнутое подпространство банахова пространства $X$. Доказать, что если для некоторого вектора $x \notin X_{0}$ существует элемент наилучшего приближения в подпространстве $X_{0}$, то к подпространству $X_{0}$ существует 0-перпендикуляр.

Доказать, что для всякого конечномерного подпространства в банаховом пространстве существует 0 -перпендикуляр.

Пусть линейное пространство $X = X_{1} \times X_{2}$, где $(X_{1},\left\| \cdot \right\|_{1})$ и $(X_{2},\left\| \cdot \right\|_{2})$ — нормированные пространства. Проверить аксиомы нормы $\left\| \binom {x_{1}}{x_{2}}\right\|_{X} = \left\| x_{1}\right\|_{X_{1}}+\left\| x_{2}\right\|_{X_{2}}$ в пространстве $X$. Доказать, что если $X_{1}$ и $X_{2}$ банаховы, то и пространство $X$ банахово.

Доказать, что декартово произведение $c_{0} \times c_{0}$ с нормой $\left\| \left(x_{1}, x_{2}\right)\right\| = \left\| x_{1}\right\|_{c_{0}}+\left\| x_{2}\right\|_{c_{0}}$ не является изометрически изоморфным пространству $c_{0}$.

Привести пример нормы $\left\| \binom {\cdot }{\cdot }\right\|$ на линейном пространстве $\mathbb {R}^{2}$ и нормированных пространств $\left(X_{1},\left\| \cdot \right\|_{1}\right),\left(X_{2},\left\| \cdot \right\|_{2}\right)$ таких, что функция $p\left(x_{1}, x_{2}\right) = \left\| \binom {\left\| x_{1}\right\|_{1}}{\left\| x_{2}\right\|_{2}}\right\|$ на линейном пространстве $X_{1} \times X_{2}$ не является нормой. Доказать, что если норма $\left\| \binom {\cdot }{\cdot }\right\|$ монотонна по каждой координате, то для любых нормированных пространств $X_{1}, X_{2}$ функция $p\left(x_{1}, x_{2}\right)$ является нормой на линейном пространстве $X_{1} \times X_{2}$.

Привести пример нормы на декартовом произведении $X_{1} \times X_{2}$ нормированных пространств, которая не задаётся способом, указанным в задаче 2.79.

Пусть $X_{0}$ — замкнутое подпространство нормированного пространства $X$. Доказать, что $\left\| [x]\right\|_{0} = \inf_{x \in [x]}\left\| x\right\|$ задаёт норму на линейном пространстве $X / X_{0}$.

Пусть $X_{0}$ — замкнутое подпространство банахового пространства $X$. Доказать, что нормированное пространство $X / X_{0}$ полно.

Пусть $X_{0}$ — замкнутое подпространство нормированного пространства $(X,\left\| \cdot \right\| )$. Доказать, что если пространства $(X_{0},\left\| \cdot \right\| )$ и $\left(X / X_{0},\left\| \cdot \right\|_{0}\right)$ полны, то и $X$ полно.

Доказать, что:

Доказать теорему 2.6.

Доказать, что линейная прямая сумма подпространств $c_{00}$ и $\operatorname {Lin}\left(x_{0}\right)$, где $x_{0} = \left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots \right)$, в пространстве $c$ не является топологической.

Пусть $X_{1}$ и $X_{2}$ — замкнутые подпространства банахова пространства $X$. Доказать, что $X_{1} \oplus X_{2}$ — замкнутое подпространство. Доказать обратное: если $X_{1}$ и $X_{2}$ — линейные подпространства банахова пространства $X$, а $X_{1} \oplus X_{2}$ — замкнутое подпространство, то $X_{1}$ и $X_{2}$ замкнуты.

Привести пример неполного нормированного пространства $X$ и двух замкнутых подпространств в нём $X_{1}$ и $X_{2}$ таких, что их топологическая прямая сумма $X_{1} \oplus X_{2}$ — незамкнутое подпространство.