Операции над обобщёнными функциями

Пусть $\varphi \in \mathcal{D}, F \in \mathcal{D}^{\prime }$. Доказать, что если $\varphi \cdot F = 0$, то $\langle F, \varphi \rangle = 0$. Верно ли обратное утверждение?

Доказать, что всякая обобщённая функция является пределом обобщённых функций с компактным носителем (иными словами, $\mathcal{E}^{\prime }$ секвенциально плотно в $\mathcal{D}^{\prime }$).

Доказать, что $x^{m} x_{+}^{\lambda } = x_{+}^{m+\lambda }, \lambda \neq -1,-2, \ldots , m \in \mathbb {N}$.

Доказать, что $x^{2 m}\left|x\right|^{\lambda } = \left|x\right|^{2 m+\lambda }$, а $x^{2 m+1}\left|x\right|^{\lambda } = \left|x\right|^{2 m+1+\lambda } \operatorname {sign} x$, $\lambda \neq -1,-2, \ldots , m \in \mathbb {N}$.

Решить в $\mathcal{D}^{\prime }$ уравнения:

Доказать, что если функция $f$ абсолютно непрерывна на $\mathbb {R}$, то $\left(F_{f}\right)^{\prime } = F_{f^{\prime }}$. Доказать правило Лейбница: если $f \in \mathcal{E}$, а $F \in \mathcal{D}^{\prime }$, то $(f F)^{\prime } = f^{\prime } F+f F^{\prime }$.

Пусть $\left\{ x_{k}\right\}_{k \in \mathcal{K}}$ — последовательность действительных чисел, занумерованная в порядке возрастания, $\mathcal{K} = \left\{ 1, \ldots , n\right\}$, либо $\mathcal{K} = \mathbb {N}$, причём последовательность $\left\{ x_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ не имеет конечных точек накопления. Пусть функция $f$ абсолютно непрерывна на каждом промежутке $\left(x_{k}, x_{k+1}\right)$ и имеет в точках $x_{k}$ разрывы первого рода, $h_{k}: = f\left(x_{k}+0\right)-f\left(x_{k}-0\right)$. Доказать, что $f_{\text{обобщ. }}^{\prime } = f_{\text{классич. }}^{\prime }+\sum_{k \in \mathcal{K}} h_{k} \delta_{x_{k}}$.

Вычислить производную следующих обобщённых функций:

Вычислить вторую производную следующих обобщённых функций:

Вычислить $n$-ю производную $x_{+}^{\lambda }$ при $-1 < \operatorname {Re} \lambda < 0$ (определение $x_{+}^{\lambda }$ см. в задаче 16.8).

Доказать, что носитель производной любой обобщённой функции $F$ является подмножеством носителя $F$.

Найти порядок сингулярности обобщённых функций:

Найти носитель и порядок сингулярности обобщённых функций:

Доказать теорему 16.1.

Доказать, что любая обобщённая функция $F \in \mathcal{D}^{\prime }$ представима в виде не более чем счётной суммы $\sum F_{f_{k}}^{\left(n_{k}\right)}$, где все $f_{k} \in L_{1, \text{ loc }}(\mathbb {R})$ и каждый отрезок на прямой пересекается с конечным числом носителей функций $f_{k}$.

Привести пример функции $F \in \mathcal{D}^{\prime }$ с бесконечным порядком сингулярности.

Доказать, что у любой обобщённой функции $G$ есть первообразная, то есть такая обобщённая функция $F$, что $F^{\prime } = G$. Рассмотреть случаи:

Решить в $\mathcal{D}^{\prime }$ дифференциальные уравнения:

Доказать, что обобщённая функция $F$ инвариантна относительно сдвигов $(\langle F, \varphi (x)\rangle = \langle F, \varphi (x+a)\rangle$ для любых $\varphi \in \mathcal{D}$ и $a \in \mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда она совпадает с регулярной функцией, порожденной некоторой константой.

Доказать, что любая обобщённая функция, удовлетворяющая уравнению

с постоянными коэффициентами $a_{k} \in \mathbb {C}$, является регулярной обобщённой функцией, порожденной некоторым обычным решением этого уравнения.

Доказать, что обобщённая функция $F$ имеет одноточечный носитель $\left\{ a\right\} : \operatorname {supp} F = \left\{ a\right\}$ тогда и только тогда, когда $F$ представима в виде конечной линейной комбинации функции $\delta_{a}$ и её производных.

Доказать равенство

(суммы рядов в обеих частях берутся в $\mathcal{D}^{\prime }$).

Доказать равенство $\sum_{n = 1}^{\infty } \sin n x = \frac{1}{2} \operatorname {ctg} \frac{x}{2}$ (ряд сходится в $\mathcal{D}^{\prime }$; $\left\langle \operatorname {ctg} \frac{x}{2}, \varphi \right\rangle : =$ v.p. $\int \operatorname {ctg} \frac{x}{2} \varphi (x) d x$).

Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} \cos n x$ сходится в $\mathcal{D}^{\prime }$ тогда и только тогда, когда найдутся такие $C > 0$ и $k \in \mathbb {N}$, что $\left|a_{n}\right| < C n^{k}, n = 1,2, \ldots$

Вычислить композицию $\delta (a x+b)$, где $a \neq 0$ и $b$ — некоторые действительные числа.

Пусть $F_{g}$ — регулярная обобщённая функция, порожденная локально интегрируемой функцией $g$. Доказать, что для любого диффеоморфизма $\gamma : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ справедливо равенство $F_{g} \circ \gamma = F_{g \circ \gamma }$, где $g \circ \gamma$ — обычная композиция функций $g$ и $\gamma$.