Основные свойства. Вычисление норм

Пусть $f$ — ненулевой линейный функционал на линейном пространстве $X$. Доказать, что $\operatorname {Ker} f$ есть линейное подпространство коразмерности 1 (см. определение 2.22).

Пусть $f$ и $g$ — два ненулевых линейных функционала на линейном пространстве $X$. Доказать, что если $\operatorname {Ker} f = \operatorname {Ker} g$, то $f = \alpha g$ для некоторого $\alpha \in \mathbb {C}$.

Пусть $f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}$ — линейные функционалы на линейном пространстве $X$. Обозначим через $X_{0}$ пересечение ядер всех этих функционалов. Доказать, что если $\operatorname {codim} X_{0} < n$, то найдутся такие комплексные числа $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n},\left|\alpha_{1}\right|+\ldots +\left|\alpha_{n}\right| \neq 0$, что $\sum_{k = 1}^{n} \alpha_{k} f_{k} = 0$ (другими словами, функционалы $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{n}$ являются линейно зависимыми).

Пусть $f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}$ — линейно независимая система линейных функционалов на линейном пространстве $X$, а $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$ комплексные числа. Доказать, что существует такой вектор $x \in X$, что $f_{k}(x) = \lambda_{k}$ для всех $1 \leqslant k \leqslant n$.

Доказать теорему 5.1.

Пусть $f$ — линейный функционал на нормированном пространстве. Доказать, что $f$ непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности $x_{n} \rightarrow 0$ числовая последовательность $\left\{ f\left(x_{n}\right)\right\}_{1}^{\infty }$ ограничена.

Пусть $f$ — линейный функционал в нормированном пространстве. Доказать, что $f$ непрерывен тогда и только тогда, когда ядро $\operatorname {Ker} f$ замкнуто.

Привести пример (нелинейного) функционала $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ на некотором банаховом пространстве $X$, непрерывном на $X$, но не ограниченном на единичном шаре этого пространства.

Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве всякий линейный функционал непрерывен.

Пусть $f$ — линейный функционал на комплексном нормированном пространстве $X$. Доказать, что $\operatorname {Re} f$ и $\operatorname {Im} f$ являются веще-ственно-линейными функционалами. Доказать, что если функционал $f$ непрерывен, то функционалы $\operatorname {Re} f$ и $\operatorname {Im} f$ также непрерывны и $\left\| \operatorname {Re} f\right\| = \left\| \operatorname {Im} f\right\| = \left\| f\right\|$ (нормы функционалов $\operatorname {Re} f$ и $\operatorname {Im} f$ определяются аналогично равенству (5.1)).

Пусть $\varphi$ — вещественно-линейный функционал на комплексном линейном пространстве $X$. Доказать, что единственный комплексный линейный функционал $f$ с условием $\operatorname {Re} f = \varphi$ имеет вид $f(x) = \varphi (x)-i \varphi (i x)$.

Пусть $f$ — ненулевой линейный непрерывный функционал на нормированном пространстве $X$. Доказать, что для любого $x \in X$ справедливо равенство $\operatorname {dist}(x, \operatorname {Ker} f) = \left|f(x)\right| /\left\| f\right\|$.

Пусть $f$ — ненулевой линейный непрерывный функционал на нормированном пространстве $X$. Обозначим

Доказать, что $\operatorname {dist}(0, M) = \left|a\right| /\left\| f\right\|$. В конечномерных нормированных пространствах любой линейный функционал оказывается ограниченным (см. задачу 5.9). В бесконечномерном случае это уже не так.

Пусть $X$ — линейное подпространство функций $x \in C[0,1]$, дифференцируемых в точке $t_{0} \in (0,1)$. Доказать, что подпространство $X$ не замкнуто и всюду плотно в $C[0,1]$. Доказать, что линейный функционал $f(x) = x^{\prime }\left(t_{0}\right)$ на нормированном пространстве $X$ (норма на $X$ наследуется из $C[0,1]$) не является ограниченным.

Пусть $\left\{ x_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }$ — базис Гамеля в банаховом пространстве. Доказать, что существует такое $n \in \mathbb {N}$, что множество $\left\{ a_{1} x_{\lambda_{1}}+\ldots \ldots +a_{n} x_{\lambda_{n}}: a_{k} \in \mathbb {R}\right\}$ всюду плотно в $X$.

Пусть $\left\{ x_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }$ — базис Гамеля в бесконечномерном нормированном пространстве. При помощи этого базиса построить пример всюду определённого неограниченного линейного функционала.

Доказать, что в любом нормированном бесконечномерном пространстве $X$ найдётся незамкнутое линейное подпространство коразмерности 1.

Доказать, что если неограниченный функционал в нормированном пространстве определён на всюду плотном множестве, то его ядро всюду плотно.

Доказать, что указанный функционал является линейным и непрерывным на указанном пространстве $X$, и найти его норму:

Доказать, что указанный функционал является линейным и непрерывным на указанном пространстве $X$, и найти его норму:

Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве и в гильбертовом пространстве всякий функционал достигает своей нормы на единичном шаре. В каждом из пространств привести примеры функционалов, которые не достигают своей нормы на единичном шаре:

Пусть $f$ — ненулевой линейный непрерывный функционал на нормированном пространстве $X$. Доказать, что если для некоторого $x \notin \operatorname {Ker} f$ существует элемент наилучшего приближения в $\operatorname {Ker} f$ (см. определение 2.16), то $f$ достигает своей нормы на единичном шаре. Доказать, что если $f$ достигает своей нормы на единичном шаpe, то для любого $x \in X$ в $\operatorname {Ker} f$ существует элемент, ближайший к $x$.

Привести пример банахова пространства $X$ и замкнутого подпространства $X_{0}$ в нём, для которого не существует 0-перпендикуляра (см. определение 2.18).