Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Унитарные и нормальные операторы

Доказать следующие свойства операции сопряжения (здесь $H_{1}$ и $H_{2}$ — гильбертовы пространства, $A \in \mathcal{B}\left(H_{1}, H_{2}\right)$):

Используя изоморфизм Рисса, установить для произвольного оператора $A \in \mathcal{B}\left(H_{1}, H_{2}\right)$ соотношение $A^{*} = J_{H_{1}}^{-1} A^{\prime } J_{H_{2}}$, т. е. доказать коммутативность следующей диаграммы:

Найти сопряжённые операторы $A^{*}$ для следующих операторов в пространстве $L_{2}[0,1]$ :

Пусть оператор $A \in \mathcal{B}\left(l_{2}\right)$ в некотором ортонормированном базисе задан матрицей $\left\{ a_{i j}\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$. Доказать, что $A^{\prime }$ в этом же базисе задаётся матрицей $\left\{ a_{j i}\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$, а $A^{*}$ задаётся матрицей $\left\{ \bar{a}_{j i}\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$.

Найти сопряжённые операторы $A^{*}$ для следующих операторов в пространстве $l_{2}$:

Найти эрмитовы сопряжённые операторы для операторов левого и правого сдвигов в пространстве $l_{2}(\mathbb {Z})$.

Найти сопряжённые операторы $A^{\prime }$ и $A^{*}$ к интегральному оператору $(A x)(t) = \int_{a}^{b} K(t, s) x(s) d s$ в пространстве $L_{2}[a, b]$, где $K \in L_{2}\left([a, b]^{2}\right)$. Найти условия на функцию $K$, при которых оператор $A$ самосопряжён.

При каких условиях на последовательность $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{1}^{\infty } \in l_{\infty }$ оператор $A x = \left(\lambda_{1} x_{1}, \lambda_{2} x_{2}, \lambda_{3} x_{3}, \ldots \right)$ в пространстве $l_{2}$ является самосопряжённым? При каких условиях на функцию $a \in L_{\infty }[0,1]$ оператор $(B x)(t) = a(t) x(t)$ в пространстве $L_{2}[0,1]$ является самосопряжённым?

Найти сопряжённый оператор $A^{*}$ к оператору замены переменной

Найти сопряжённые операторы $A^{*}$ для следующих операторов:

Пусть $H_{0}$ — подпространство гильбертова пространства $H$, инвариантное относительно оператора $A \in \mathcal{B}(H)$. Доказать, что $H_{0}^{\perp }$ инвариантно относительно $A^{*}$.

Пусть гильбертово пространство $H$ разложено в прямую сумму замкнутых подпространств $H = H_{0} \oplus H_{1}$, и пусть задан проектор $P$ на подпространство $H_{0}$ вдоль $H_{1}$. Доказать, что $H_{0} \perp H_{1} \Leftrightarrow \Leftrightarrow P = P^{*}$ (ср. с задачей 6.62).

Пусть $H$ — гильбертово пространство, а $P_{1}$ и $P_{2}$ — ортопроекторы на подпространства $H_{1}$ и $H_{2}$. Доказать эквивалентность следующих утверждений:

1. $P_{1} \leqslant P_{2}$ (т. е. $\left(\left(P_{2}-P_{1}\right) x, x\right) \geqslant 0$ для любого $x \in H$);

2. $H_{1} \subseteq H_{2}$;

3. $P_{1} P_{2} = P_{2} P_{1} = P_{1}$;

4. $P_{2}-P_{1}$ — ортопроектор.

Пусть $P_{1}$ и $P_{2}$ — ортопроекторы в гильбертовом пространстве $H$ на подпространства $H_{1}$ и $H_{2}$. При каких условиях на $P_{1}$ и $P_{2}$ (при каких условиях на $H_{1}$ и $H_{2}$) следующие операторы также являются ортопроекторами:

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H)$. Доказать, что

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H)$ и $\operatorname {dim} \operatorname {Im} A = n < \infty$. Доказать, что $\operatorname {dim} \operatorname {Im}\left(A^{*}\right) = n$.

Пусть $H_{1}$ и $H_{2}$ — гильбертовы пространства, причём пространство $H_{2}$ сепарабельно. Доказать, что если существует инъективный оператор $A \in \mathcal{B}\left(H_{1}, H_{2}\right)$, то пространство $H_{1}$ также сепарабельно. Верно ли это утверждение для банаховых пространств?

Пусть $H_{1}$ и $H_{2}$ — гильбертовы пространства, $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset \subset \mathcal{B}\left(H_{1}, H_{2}\right)$ и $A_{n} \rightrightarrows A \in \mathcal{B}\left(H_{1}, H_{2}\right)$. Доказать, что $A_{n}^{*} \rightrightarrows A^{*}$. Доказать, что если $A_{n} \rightharpoonup A \in \mathcal{B}\left(H_{1}, H_{2}\right)$, то $A_{n}^{*} \rightharpoonup A^{*}$.

Привести пример такой последовательности операторов $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset \mathcal{B}\left(H_{1}, H_{2}\right)$ в гильбертовых пространствах $H_{1}$ и $H_{2}$, что $A_{n} \xrightarrow {s} A \in \mathcal{B}\left(H_{1}, H_{2}\right)$, но последовательность $\left\{ A_{n}^{*}\right\}_{1}^{\infty }$ не имеет сильного предела.

Пусть $H_{1}$ и $H_{2}$ — гильбертовы пространства. Доказать, что оператор $U \in \mathcal{B}\left(H_{1}, H_{2}\right)$ унитарен (см. определение 8.4) тогда и только тогда, когда выполнены оба равенства $U U^{*} = I_{H_{2}}$ и $U^{*} U = I_{H_{1}}$. Привести пример не унитарного оператора, для которого выполнено одно из этих равенств.

При каких условиях на последовательность $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{1}^{\infty } \in l_{\infty }$ оператор $A x = \left(\lambda_{1} x_{1}, \lambda_{2} x_{2}, \lambda_{3} x_{3}, \ldots \right)$ является унитарным в пространстве $l_{2}$? При каких условиях на функцию $a \in L_{\infty }[0,1]$ оператор $(A x)(t) = a(t) x(t)$ является унитарным в пространстве $L_{2}[0,1]$?

Доказать, что оператор сдвига $(A x)(t) = x(t-a)$ унитарен в $L_{2}(\mathbb {R})$.

Доказать, что операторы левого и правого сдвига унитарны в пространстве $l_{2}(\mathbb {Z})$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, а $U \in \mathcal{B}(H)$. Доказать, что если $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — некоторый ортонормированный базис в $H$ и система $\left\{ U e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ также является ортонормированным базисом, то $U$ унитарен. Обратно, доказать, что если оператор $U$ унитарен, то он переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный базис.

Пусть $H_{1}$ и $H_{2}$ — гильбертовы пространства, $W \in \mathcal{B}\left(H_{1}, H_{2}\right)$. Доказать, что $W$ является частично изометрическим оператором тогда и только тогда, когда $W W^{*} W = W$. Как действует оператор $W^{*}$?

Преобразованием Гильберта функции $x \in L_{2}[0,2 \pi ]$ называют функцию $y(t) = \frac{1}{2 \pi } \int_{0}^{2 \pi } x(s) \operatorname {ctg} \frac{t-s}{2} d s.{ }$¹ Доказать, что оператор $A: x \mapsto y$ является частичной изометрией.

Доказать, что операторы левого и правого сдвига являются частичными изометриями пространства $l_{2}$.

При каких условиях на последовательность $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{1}^{\infty } \in l_{\infty }$ оператор $A x = \left(\lambda_{1} x_{1}, \lambda_{2} x_{2}, \lambda_{3} x_{3}, \ldots \right)$ является частичной изометрией в пространстве $l_{2}$? При каких условиях на функцию $a \in L_{\infty }[0,1]$ оператор $(A x)(t) = a(t) x(t)$ является частичной изометрией в пространстве $L_{2}[0,1]$?

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Доказать, что множество

Доказать, что и слабый, и сильный предел самосопряжённых операторов (если он существует) есть самосопряжённый оператор. Доказать, что и слабый, и сильный предел унитарных операторов — унитарный оператор, а сильный предел ортогональных проекторов — ортогональный проектор. Привести пример, показывающий, что слабый предел ортогональных проекторов не обязан быть проектором.

Пусть $H$ — гильбертово пространство

Пусть $A$ и $B$ — два самосопряженных оператора в комплексном гильбертовом пространстве $H$. Для всякого $x \in H, x \neq 0$, определяется

• константа неопределенности, соответствующая паре операторов $A, B$ для элемента $x$ (если знаменатель дроби равен нулю, то $U C(x): = \infty$). Доказать, что всегда выполнено неравенство $U C(x) \geqslant \frac{1}{2}$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор. Может ли образ $\operatorname {Im} A$ быть незамкнутым?

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор. Доказать, что $\overline{\operatorname {Im} A} = H$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {Ker} A = \left\{ 0\right\}$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор, $x \notin \operatorname {Ker} A$. Доказать, что последовательность $\alpha_{n} = \left\| A^{n+1} x\right\| /\left\| A^{n} x\right\|$ сходится.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H)$. Доказать, что $\operatorname {Ker}\left(A A^{*}\right) = \operatorname {Ker} A^{*}, \operatorname {Ker}\left(A^{*} A\right) = \operatorname {Ker} A$. Верно ли, что

Пусть $A = A^{*}$. Доказать, что $\left\| A\right\| = \sup_{\left\| x\right\| = 1}\left|(A x, x)\right|$. Привести пример несамосопряжённого оператора, для которого эта формула неверна.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H)$. Доказать, что $\left\| A A^{*}\right\| = \left\| A^{*} A\right\| = \left\| A\right\|^{2}$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H)$. Доказать, что существует единственная пара таких самосопряжённых операторов $A_{\text{re }}$ и $A_{\text{im }}$, что $A = A_{\text{re }}+i A_{\text{im }}$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Доказать, что для самосопряжённых операторов в нём выполнены следующие утверждения:

Доказать, что для положительного оператора $A$ справедливо обобщённое неравенство Коши-Буняковского:

Пусть последовательность $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ положительных операторов слабо сходится к нулю. Доказать, что $A_{n}$ сходятся к нулю сильно.

Пусть $A$ и $B$-ограниченные операторы в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что неравенство $A^{*} A \leqslant B^{*} B$ эквивалентно системе неравенств $\left\| A x\right\| \leqslant \left\| B x\right\|$ для любого $x \in H$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H)$. Доказать, что $A A^{*} \geqslant 0$.

Пусть $H$ — комплексное гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H)$. Доказать, что если для любого $x \in H$ квадратичная форма $(A x, x)$ вещественна (в частности, если оператор положителен), то $A^{*} = A$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ и $B$ — самосопряжённые операторы и $A \geqslant 0$. Доказать, что $B A B \geqslant 0$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ и $B$ — самосопряжённые операторы, $0 \leqslant A \leqslant B$ и $A B = B A$. Доказать, что $A B \geqslant 0$ и $A^{2} \leqslant B^{2}$. Привести примеры, показывающие, что условие $A B = B A$ в этом утверждении существенно.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, а последовательность $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ самосопряжённых операторов из $\mathcal{B}(H)$ монотонно не убывает, т. е. $A_{1} \leqslant A_{2} \leqslant A_{3} \leqslant \ldots$ Доказать, что такая последовательность имеет предел в смысле сильной операторной сходимости, но не обязательно имеет предел в смысле равномерной операторной сходимости.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор и $A \geqslant 0$. Доказать, что существует единственный самосопряжённый неотрицательный оператор $B$, для которого $B^{2} = A$.

Для следующих операторов $A$ найти $\sqrt{A}$ :

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор и $A \geqslant 0$. Доказать, что $\left\| \sqrt{A}\right\| = \sqrt{\left\| A\right\| }$.

Показать, что из неравенств $0 \leqslant A \leqslant B$ для операторов в гильбертовом пространстве следует неравенство $\sqrt{A} \leqslant \sqrt{B}$.

Доказать, что в гильбертовом пространстве всякий самосопряжённый оператор есть линейная комбинация двух унитарных операторов. Как следствие, всякий ограниченный оператор есть линейная комбинация четырех унитарных.

Пусть $H_{1}$ и $H_{2}$ — гильбертовы пространства, а оператор $A \in \mathcal{B}\left(H_{1}, H_{2}\right)$. Доказать, что существует такой частично изометрический оператор $W: H_{1} \rightarrow H_{2}$ и такие неотрицательные операторы $S \in \mathcal{B}\left(H_{1}\right)$ и $R \in \mathcal{B}\left(H_{2}\right)$, что $A = W S = R W$. При этом пара операторов $W, S$ однозначно определена условием $\operatorname {Ker} W = \operatorname {Ker} S$, а пара $W, R$ условием $(\operatorname {Im} W)^{\perp } = \operatorname {Ker} R$.

Найти полярное разложение $A = W S = R W$ для оператора $A \in \mathcal{B}(H)$ в случае

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H)$. Доказать, что существует единственный самосопряжённый неотрицательный оператор $B \in \mathcal{B}(H)$ такой, что для любого $x \in H$ выполнено $\left\| A x\right\| = \left\| B x\right\|$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(H)$ и $H_{0}: = \operatorname {Im} A$. Доказать, что найдётся такой самосопряжённый оператор в $H$, что его образ совпадает с $H_{0}$.

Пусть $A$ и $B$-ограниченные операторы в гильбертовом пространстве $H$. Доказать равносильность следующих свойств:

1. $\operatorname {Im} A \subset \operatorname {Im} B$;

2. $A = B C$ для некоторого $C \in \mathcal{B}(H)$;

3. существует такое $\lambda \geqslant 0$, что $\left(A^{*} x, A^{*} x\right) \leqslant \lambda^{2}\left(B^{*} x, B^{*} x\right)$ для всех $x \in H$.

Для всякого ли оператора $A \in \mathcal{B}(X)$ ($X$ — банахово пространство) существует такой оператор $B \in \mathcal{B}(X)$, что $B^{2} = A$?

Доказать, что оператор $A$ нормален тогда и только тогда, когда $A_{\mathrm{re}} A_{\mathrm{im}} = A_{\mathrm{im}} A_{\mathrm{re}}$ (см. задачу 8.53).

Доказать, что если оператор $A$ нормальный, то для любого $\lambda \in \mathbb {C}$ оператор $A-\lambda I$ тоже нормальный.

Пусть $H$ — гильбертово пространство и оператор $A \in \mathcal{B}(H)$ нормален. Доказать, что существует такой унитарный оператор $U \in \mathcal{B}(H)$, что $A^{*} = U A$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Доказать, что оператор $A \in \mathcal{B}(H)$ нормален тогда и только тогда, когда $\left\| A x\right\| = \left\| A^{*} x\right\|$ для любого $x \in H$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство и оператор $A \in \mathcal{B}(H)$ нормален. Доказать, что $\left\| A^{2}\right\| = \left\| A\right\|^{2}$ и вообще $\left\| A^{2^{n}}\right\| = \left\| A\right\|^{2^{n}}$ для любого натурального $n.$¹

Какие из следующих операторов нормальны в $l_{2}$ :

При каких условиях на функцию $K \in L_{2}\left([0,1]^{2}\right)$ оператор $(A x)(t) = \int_{0}^{1} K(t, s) x(s) d s$ в пространстве $L_{2}[0,1]$ нормален?

Доказать, что для любой функции $a \in L_{\infty }[0,1]$ оператор $(A x)(t) = a(t) x(t)$ нормален в $L_{2}[0,1]$.