Конструкции банаховых пространств. Прямые суммы подпространств

Пусть линейное пространство $X = X_{1} \times X_{2}$, где $(X_{1},\left\| \cdot \right\|_{1})$ и $(X_{2},\left\| \cdot \right\|_{2})$ — нормированные пространства. Проверить аксиомы нормы $\left\| \binom {x_{1}}{x_{2}}\right\|_{X} = \left\| x_{1}\right\|_{X_{1}}+\left\| x_{2}\right\|_{X_{2}}$ в пространстве $X$. Доказать, что если $X_{1}$ и $X_{2}$ банаховы, то и пространство $X$ банахово.

Доказать, что декартово произведение $c_{0} \times c_{0}$ с нормой $\left\| \left(x_{1}, x_{2}\right)\right\| = \left\| x_{1}\right\|_{c_{0}}+\left\| x_{2}\right\|_{c_{0}}$ не является изометрически изоморфным пространству $c_{0}$.

Привести пример нормы $\left\| \binom {\cdot }{\cdot }\right\|$ на линейном пространстве $\mathbb {R}^{2}$ и нормированных пространств $\left(X_{1},\left\| \cdot \right\|_{1}\right),\left(X_{2},\left\| \cdot \right\|_{2}\right)$ таких, что функция $p\left(x_{1}, x_{2}\right) = \left\| \binom {\left\| x_{1}\right\|_{1}}{\left\| x_{2}\right\|_{2}}\right\|$ на линейном пространстве $X_{1} \times X_{2}$ не является нормой. Доказать, что если норма $\left\| \binom {\cdot }{\cdot }\right\|$ монотонна по каждой координате, то для любых нормированных пространств $X_{1}, X_{2}$ функция $p\left(x_{1}, x_{2}\right)$ является нормой на линейном пространстве $X_{1} \times X_{2}$.

Привести пример нормы на декартовом произведении $X_{1} \times X_{2}$ нормированных пространств, которая не задаётся способом, указанным в задаче 2.79.

Пусть $X_{0}$ — замкнутое подпространство нормированного пространства $X$. Доказать, что $\left\| [x]\right\|_{0} = \inf_{x \in [x]}\left\| x\right\|$ задаёт норму на линейном пространстве $X / X_{0}$.

Пусть $X_{0}$ — замкнутое подпространство банахового пространства $X$. Доказать, что нормированное пространство $X / X_{0}$ полно.

Пусть $X_{0}$ — замкнутое подпространство нормированного пространства $(X,\left\| \cdot \right\| )$. Доказать, что если пространства $(X_{0},\left\| \cdot \right\| )$ и $\left(X / X_{0},\left\| \cdot \right\|_{0}\right)$ полны, то и $X$ полно.

Доказать, что:

Доказать теорему 2.6.

Доказать, что линейная прямая сумма подпространств $c_{00}$ и $\operatorname {Lin}\left(x_{0}\right)$, где $x_{0} = \left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots \right)$, в пространстве $c$ не является топологической.

Пусть $X_{1}$ и $X_{2}$ — замкнутые подпространства банахова пространства $X$. Доказать, что $X_{1} \oplus X_{2}$ — замкнутое подпространство. Доказать обратное: если $X_{1}$ и $X_{2}$ — линейные подпространства банахова пространства $X$, а $X_{1} \oplus X_{2}$ — замкнутое подпространство, то $X_{1}$ и $X_{2}$ замкнуты.

Привести пример неполного нормированного пространства $X$ и двух замкнутых подпространств в нём $X_{1}$ и $X_{2}$ таких, что их топологическая прямая сумма $X_{1} \oplus X_{2}$ — незамкнутое подпространство.