Дифференцирование в банаховых пространствах

Доказать, что если отображение дифференцируемо по Фреше в точке, то оно дифференцируемо по Гато в этой точке (и производные совпадают).

Доказать, что если отображение $F$ дифференцируемо по Фреше в точке $x$, то оно непрерывно в этой точке. Привести пример отображения, дифференцируемого по Гато в точке своего разрыва.

Пусть $X, Y, Z$ — нормированные пространства, отображение $F: X \rightarrow Y$ дифференцируемо по Фреше в точке $x$, отображение $G: Y \rightarrow Z$ дифференцируемо по Фреше в точке $F(x)$. Доказать, что $G \circ F$ дифференцируемо по Фреше в точке $x$ и $(G \circ F)^{\prime }(x) = G^{\prime }(F(x)) \circ F^{\prime }(x)$. Показать, что композиция дифференцируемых по Гато отображений может не быть дифференцируемой по Гато.

Пусть отображение $F: X \rightarrow Y$ дифференцируемо по Гато в каждой точке $x$ из окрестности $U$ точки $x_{0}$, и производная $F^{\prime }(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$ (то есть $\left\| F^{\prime }(x)-F^{\prime }\left(x_{0}\right)\right\| \rightarrow 0$ при $x \rightarrow x_{0}$). Доказать, что $F$ дифференцируемо по Фреше в точке $x_{0}$.

Исследовать отображения на дифференцируемость по Фреше и по Гато и найти производные (все банаховы пространства предполагаются действительными):

Доказать, что если сопряженное пространство $X^{*}$ равномерно выпукло (см. определение 2.11), то норма в $X$ (отображение $x \mapsto \left\| x\right\|$) дифференцируема по Фреше в каждой точке $x \in X \backslash \left\{ 0\right\}$.

Доказать, что найдется отображение $F: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}^{2}$, дифференцируемое во всех точках отрезка $[a, b]$, для которого равенство $F(b)-F(a) = F^{\prime }(c)(b-a)$ неверно ни для какой точки $c \in (a, b)$.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, $U$ — открытое выпуклое множество в $X$ и $F: U \rightarrow Y$ дифференцируемо по Гато в каждой точке из $U$. Доказать, что для всяких $a, b \in U$ разность $F(b)-F(a)$ лежит в замыкании выпуклой оболочки множества $\left\{ F^{\prime }(c)(b-a): c \in (a, b)\right\}$.

Доказать, что в условиях предыдущей задачи справедливо неравенство $\left\| F(b)-F(a)\right\| \leqslant \sup_{c \in (a, b)}\left\| F^{\prime }(c)\right\| \cdot \left\| b-a\right\|$.