Теория Фредгольма

Доказать, что подобные операторы в банаховых пространствах либо оба фредгольмовы и их индексы совпадают, либо оба не фредгольмовы.

Доказать, что всякий обратимый оператор в банаховом пространстве фредгольмов.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{K}(X, Y)$. Доказать, что $A \in \mathcal{F}(X, Y)$ тогда и только тогда, когда оба пространства $X$ и $Y$ конечномерны.

Пусть $X$ — банахово пространство и $A$ — фредгольмов оператор в $X$. Доказать, что тогда оператор $A^{\prime }$ также фредгольмов и $\alpha \left(A^{\prime }\right) = \beta (A), \beta \left(A^{\prime }\right) = \alpha (A)$.

Доказать теоремы 11.5-11.8 для случая гильбертова пространства $H$ и конечномерного оператора $A \in \mathcal{B}(H)$.

Доказать первую теорему Фредгольма 11.6 для случая гильбертова пространства.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{K}(X)$ и $T = I-A$. Доказать, что $\alpha (T) < \infty$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{K}(X)$ и $T = I-A$. Доказать, что подпространство $\operatorname {Im} T$ замкнуто в $X$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{K}(X)$ и $T = I-A$. Доказать, что $\beta (T) < \infty$.

Доказать теорему 11.3.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{K}(X)$ и $T = I-A$. Доказать, что:

Пусть $X, Y$ и $Z$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{F}(Y, Z)$, $B \in \mathcal{F}(X, Y)$. Доказать, что $A B \in \mathcal{F}(X, Z)$ и ind $(A B) =$ ind $A+$ ind $B$.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{I B}(X, Y)$ — обратимый оператор, $T \in \mathcal{K}(X, Y)$. Доказать, что $A+T \in \mathcal{F}(X, Y)$ и

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{F}(X, Y)$ и ind $A = 0$. Не используя теорему 11.4, доказать теорему $\Phi$. Рисса о разложении: существует такой обратимый оператор $R \in \mathcal{I B}(X, Y)$ и такой конечномерный оператор $S$, что $A = R+S$.

Доказать теорему 11.4.

(Первая теорема об устойчивости индекса). Пусть $X$ и $Y$ банаховы пространства, $S \in \mathcal{F}(X, Y), T \in \mathcal{K}(X, Y)$. Доказать, что $S+T \in \mathcal{F}(X, Y)$ и

(Вторая теорема об устойчивости индекса). Пусть $X$ и $Y$ банаховы пространства, $S \in \mathcal{F}(X, Y)$. Доказать, что найдётся такое $\varepsilon > 0$, что для всякого оператора $T \in \mathcal{B}(X, Y)$ с $\left\| T\right\| < \varepsilon$ имеет место включение $S+T \in \mathcal{F}(X, Y)$ и равенство $\operatorname {ind}(S+T) = \operatorname {ind} S$.

Пусть $X \subset Y$ — банаховы пространства. Доказать, что оператор вложения $J: X \rightarrow Y$ фредгольмов тогда и только тогда, когда коразмерность линейного пространства $X$ в $Y$ конечна.

Доказать, что оператор проектирования в банаховом пространстве фредгольмов тогда и только тогда, когда его образ имеет конечную коразмерность.

Доказать, что следующие операторы фредгольмовы:

При каких условиях на последовательность $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{1}^{\infty } \in l_{\infty }$ оператор $A x = \left(\lambda_{1} x_{1}, \lambda_{2} x_{2}, \ldots , \lambda_{n} x_{n}, \ldots \right)$ в $l_{p}$, где $1 \leqslant p < \infty$, является фредгольмовым оператором? В тех случаях, когда оператор фредгольмов, вычислить $\alpha (A), \beta (A)$ и ind $A$.

При каких условиях на функцию а оператор $(A x)(t) = a(t) x(t)$ является фредгольмовым:

Доказать, что операторы правого и левого сдвига в любом из пространств $l_{p}, p \in [1, \infty ]$, с или $c_{0}$ фредгольмовы. Вычислить дефектные числа и индекс для этих операторов.

Доказать, что оператор $(A x)(t) = x(t+a)$ фредгольмов в любом из пространств $L_{p}(\mathbb {R}), p \in [1, \infty ], B C(\mathbb {R})$. Вычислить $\alpha (A)$, $\beta (A)$ и $\operatorname {ind} A$ для этого оператора в каждом из указанных пространств.

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — ортонормированный базис в гильбертовом пространстве $H$, а система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ квадратично близка к нему, т. е. $\sum_{n = 1}^{\infty }\left\| x_{n}-e_{n}\right\|^{2} < \infty$. Доказать, что в этих условиях следующие утверждения эквивалентны:

1. система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ полна;

2. система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ минимальна;

3. система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Рисса. ¹