Компактные операторы и теория Фредгольма

Доказать, что оператор $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ является компактным тогда и только тогда, когда образ единичного шара в $X$ является предкомпактным множеством в $Y$.

Доказать, что конечная линейная комбинация компактных операторов есть компактный оператор.

Доказать, что композиция компактного и ограниченного операторов (в любом порядке) есть компактный оператор.

Доказать, что если $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — компактные операторы и $A_{n} \rightrightarrows \rightrightarrows A$, то $A$ — тоже компактный оператор.

(Дж. Калкин, 1941). Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. Доказать, что единственным нетривиальным собственным замкнутым двусторонним идеалом в $\mathcal{B}(H)$ является $\mathcal{K}(H)$.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{K}(X, Y)$. Доказать, что $A$ может иметь правый обратный оператор только в случае $\operatorname {dim} Y < \infty$. Доказать, что $A$ может иметь левый обратный оператор только в случае $\operatorname {dim} X < \infty$.

Привести пример последовательности таких компактных операторов $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ в банаховом пространстве $X$, что $A_{n} \xrightarrow {s} A \in \mathcal{B}(X)$, но $A$ — не компактный оператор.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать, что если $\operatorname {dim}(\operatorname {Im} A) < \infty$, то $A$ компактен.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{K}(X, Y)$, а $Y_{0} \subset \operatorname {Im} A$ замкнутое подпространство. Доказать, что $\operatorname {dim} Y_{0} < \infty$.

Привести пример таких банаховых пространств $X$ и $Y$ и такого некомпактного оператора $A \in \mathcal{B}(X, Y)$, что $\operatorname {Im} A$ не содержит бесконечномерных замкнутых подпространств.

Пусть $A \in \mathcal{B}(X)$, где $X$ — банахово пространство, и $\operatorname {Im} A = X$. Может ли оператор $A$ быть компактным?

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{K}(X, Y), B \in \mathcal{B}(X, Y)$ и $\operatorname {Im} B \subset \operatorname {Im} A$. Доказать, что $B \in \mathcal{K}(X, Y)$.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, оператор $A \in \mathcal{K}(X, Y)$. Доказать, что пространство $(\operatorname {Im} A,\left\| \cdot \right\|_{Y})$ сепарабельно.

Пусть $X$ — банахово пространство. Доказать, что тождественный оператор в нём компактен тогда и только тогда, когда $X$ конечномерно.

Доказать, что оператор проектирования в банаховом пространстве компактен тогда и только тогда, когда он конечномерен.

Пусть $X$ — рефлексивное банахово пространство, $X^{*}$ сепарабельно и $A \in \mathcal{K}(X)$. Доказать, что образ замкнутого единичного шара $A(\bar{B}(0,1))$ есть компактное множество. ¹

Пусть $X$ — банахово пространство. Доказать, что если для всякого оператора $A \in \mathcal{K}(X)$ образ замкнутого единичного шара $A(\bar{B}(0,1))$ есть компактное множество, то пространство $X$ рефлексивно.

Верно ли, что если в бесконечномерном нормированном пространстве $A^{2} = 0$, то оператор $A$ компактен?

Пусть $X$ — бесконечномерное банахово пространство, оператор $A \in \mathcal{K}(X)$, а многочлен $P(z) = a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\ldots +a_{0}$. Доказать, что если $a_{0} \neq 0$, то и $P(A) \neq 0$. Для произвольного многочлена $P(z)$ с коэффициентом $a_{0} = 0$ привести пример компактного оператора $A$, для которого $P(A) = 0$.

Доказать, что подобные операторы (см. определение 9.4) либо оба компактны, либо оба не компактны.

Доказать, что компактный оператор переводит всякую слабо сходящуюся последовательность в последовательность, сходящуюся по норме.

Доказать, что оператор в рефлексивном пространстве, переводящий всякую слабо сходящуюся последовательность в последовательность, сходящуюся по норме, является компактным. Привести пример оператора в нерефлексивном пространстве, переводящего всякую слабо сходящуюся последовательность в последовательность, сходящуюся по норме, и не являющегося компактным.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{K}(X, Y)$, последовательность $x_{n} \rightharpoonup x$ в $X$, последовательность $f_{n} \stackrel{*}{*} f$ в $Y^{*}$. Доказать, что $f_{n}\left(A x_{n}\right) \rightarrow f(A x)$.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, причём $Y$ сепарабельно. Пусть $A \in \mathcal{B}(X, Y)$, а оператор $A^{\prime }$ переводит всякую $*$-слабо сходящуюся в $Y^{*}$ последовательность в сходящуюся по норме последовательность в $X^{*}$. Доказать, что $A$ компактен.

Пусть банахово пространство $X$ рефлексивно, а $X^{*}$ сепарабельно. Доказать, что любой компактный оператор $A \in \mathcal{K}(X)$ достигает своей нормы на замкнутом единичном шаре ¹. Привести пример компактного оператора в нерефлексивном пространстве, не достигающего своей нормы на замкнутом единичном шаре.

Доказать, что $\operatorname {Sp}(X, Y)$ - (вообще говоря, незамкнутое) линейное подпространство в $\mathcal{K}(X, Y)$. Доказать, что $\operatorname {dim} \operatorname {Sp}(X, Y) = \infty$, если $\operatorname {dim} X = \infty$ или $\operatorname {dim} Y = \infty$.

На линейном пространстве $\operatorname {Sp}(X, Y)$ введем норму

где точная нижняя грань берётся по всем представлениям оператора $A$ в виде суммы абсолютно сходящегося ряда $A = \sum_{k = 1}^{\infty } A_{k}$ одномерных операторов. Доказать, что эта функция удовлетворяет аксиомам нормы. Доказать оценку $\left\| A\right\|_{\mathcal{B}(X, Y)} \leqslant \left\| A\right\|_{\mathrm{Sp}(X, Y)}$. Доказать, что пространство $\operatorname {Sp}(X, Y)$ банахово относительно введённой нормы.

Доказать, что любое банахово пространство, в котором есть счётный базис Шаудера, обладает свойством аппроксимации. Доказать, что любое (не обязательно сепарабельное) гильбертово пространство обладает свойством аппроксимации.

Пусть в банаховом пространстве $X$ существует базис Шаудера. Доказать, что замыкание подпространства конечномерных операторов в смысле сильной операторной сходимости в $\mathcal{B}(X)$ совпадает с $\mathcal{B}(X)$.

При каких $\lambda \in l_{\infty }$ оператор $A x = \left(\lambda_{1} x_{1}, \ldots , \lambda_{n} x_{n}, \ldots \right)$ является компактным оператором в $l_{p}(1 \leqslant p < \infty )$? При каких условиях на последовательность $\lambda$ этот оператор является ядерным?

При каких $a \in L_{\infty }[a, b]$ оператор $(A x)(t) = a(t) x(t)$ является компактным оператором в $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty ]$? При каких $a \in C[0,1]$ оператор $(A x)(t) = a(t) x(t)$ компактен в $C[0,1]$?

Доказать, что любой ограниченный оператор, действующий из рефлексивного пространства в пространство $l_{1}$, является компактным. В частности, если $A \in \mathcal{B}\left(l_{p}, l_{1}\right), 1 < p < \infty$, то $A \in \mathcal{K}\left(l_{p}, l_{1}\right)$.

Доказать, что любой ограниченный оператор, действующий из пространства $c_{0}$ в рефлексивное пространство, является компактным.

Пусть $A \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0,1]\right)$ и $\operatorname {Im} A \subset C[0,1]$. Доказать, что $A \in \mathcal{K}\left(L_{2}[0,1]\right)$ (ср. с задачей 9.18).

Доказать, что операторы правого и левого сдвига в любом из пространств $l_{p}, p \in [1, \infty ], c$ или $c_{0}$ не компактны.

Доказать, что если $K \in C\left([a, b]^{2}\right)$, то интегральный оператор $A: L_{p}[a, b] \rightarrow L_{r}[a, b],(A x)(t) = \int_{a}^{b} K(t, s) x(s) d s$, компактен при любых $p, r \in [1, \infty )$.

Доказать, что если $K \in L_{q}\left([a, b]^{2}\right)$, то интегральный оператор $A: L_{p}[a, b] \rightarrow L_{q}[a, b], \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1, q < \infty ,(A x)(t) = \int_{a}^{b} K(t, s) x(s) d s$, является компактным.

Доказать, что если функция $K(t, s)$ непрерывна на квадрате $[a, b]^{2}$ за исключением конечного числа непрерывных кривых вида $s = s_{k}(t), k = 1, \ldots , n, t \in [a, b]$, то интегральный оператор $A: C[a, b] \rightarrow C[a, b],(A x)(t) = \int_{a}^{b} K(t, s) x(s) d s$, является компактным.

Доказать, что не является компактным оператор дифференцирования $A x = x^{\prime }$, действующий:

Доказать, что оператор сдвига $(A x)(t) = x(t-a)$ не компактен в пространствах:

С помощью задачи 11.21 доказать, что оператор Харди

в пространстве $L_{p}[0,1], p \in (1, \infty )$, не компактен.

Привести пример некомпактного ограниченного оператора $A$ в пространстве $L_{p}[0,1], p \in (1, \infty )$, и последовательности $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset L_{p}[0,1]$ со свойствами

1. $x_{n} \rightharpoonup 0$;

2. $\left\| x_{n}\right\|_{L_{p}} = 1$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

3. $\left\| A x_{n}\right\|_{L_{p}} \rightarrow 0$ (ср. с задачей 11.22).

Пусть $X$ — одно из пространств: $l_{p}, p \in (1, \infty )$, с или $c_{0}$. Пусть $A \in \mathcal{K}(X)$, а $\left\{ e_{n} = (0,0, \ldots , 0,1,0,0, \ldots )\right\}_{n = 1}^{\infty }$. Доказать, что $A e_{n} \rightarrow 0$. Привести пример такого компактного оператора $A$ в пространстве $l_{1}$, что $A e_{n} \nrightarrow 0$. $\downarrow$

Доказать, что оператор $A$ вида

в пространствах $l_{p}, p \in (1, \infty )$, с и $c_{0}$ ограничен, не компактен, но $\left\| A e_{n}\right\| \rightarrow 0$.

Является ли компактным в пространстве $C[-1,1]$ оператор $(A x)(t) = \frac{1}{2}(x(t)+x(-t))$?

Пусть $\varphi (t)$ — непрерывное отображение отрезка $[0,1]$ в себя. Доказать, что оператор композиции $A \in \mathcal{B}(C[0,1]),(A x)(t) = x(\varphi (t))$ является компактным в $C[0,1]$ тогда и только тогда, когда $\varphi (t) \equiv$ const.

(Теорема И. К. Даугавета, 1963). Доказать, что для всякого компактного оператора $A$ в $C[0,1]$ имеет место равенство $\left\| A+\lambda I\right\| = \left\| A\right\| +\left|\lambda \right|(\lambda \in \mathbb {C})$.

Пусть в гильбертовом пространстве $H$ оператор $A^{*} A$ компактен. Доказать, что оператор $A$ компактен.

Доказать, что в гильбертовом пространстве оператор $A$ компактен тогда и только тогда, когда $A^{*}$ компактен.

Пусть $A$ — самосопряжённый неотрицательный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что $A$ компактен тогда и только тогда, когда $\sqrt{A}$ компактен.

Пусть $A, B$ и $C$ — самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве, $B \leqslant A \leqslant C$, причём $B$ и $C$ компактны. Доказать, что $A$ также компактен.

При каких значениях параметра $r$ оператор Харди

(см. задачу 6.33), является компактным?

Доказать, что если $A \in \mathcal{K}(H)$, а $\left\{ e_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$ — ортонормированный базис пространства $H$, то $\left\| A e_{n}\right\| \rightarrow 0$.

Доказать компактность оператора $A: l_{2} \rightarrow l_{2}$,

Является ли оператор $A$ компактным в $l_{2}$ при условии $\lim_{i \rightarrow \infty } \sum_{j = 1}^{+\infty }\left|a_{i j}\right|^{2} = 0$?

Является ли компактным в пространстве $l_{2}$ оператор Гильберта (см. задачу 6.72), определённый матрицей $\left\{ a_{i j}\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$, где $a_{i j} = \frac{1}{i+j}$?

Привести пример компактного оператора $A$ в пространстве $l_{2}$, элементы матрицы которого в стандартном базисе удовлетворяют соотношению $\sum_{k = 1}^{\infty } \sum_{n = 1}^{\infty }\left|a_{k n}\right|^{2} = \infty$.

Пусть $T_{r}:\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \mapsto \left(0, x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ — оператор правого сдвига в пространстве $l_{2}$. Доказать, что если компактный оператор $K$ коммутирует с $T_{r}$, то $K = 0$.

Доказать, что оператор $(A x)(t) = \int_{-\infty }^{+\infty } e^{-\left|t-s\right|} x(s) d s$ не компактен в пространстве $L_{2}(\mathbb {R})$.

Доказать компактность в пространстве $L_{2}[a, b]$ интегрального оператора $(A x)(t) = \int_{a}^{b} K(t, s) x(s) d s$ с ядром $K \in L_{2}\left([a, b]^{2}\right)$.

При каких $\alpha \in (0,1)$ оператор

компактен?

Доказать компактность оператора $A: L_{2}[0,1] \rightarrow L_{2}[0,1]$, $(A x)(t) = \int_{0}^{1} \frac{1}{t-s} \ln \frac{1+t}{1+s} x(s) d s$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{K}(H)$. Доказать, что существует такой вектор $x \in H,\left\| x\right\| = 1$, что $\left\| A x\right\| = \left\| A\right\|$ (ср. с задачей 11.25).

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{K}(H)$, вектор $x \in H,\left\| x\right\| = 1$ и $\left\| A x\right\| = \left\| A\right\|$. Доказать, что оператор $A$ переводит $\left\{ x\right\}^{\perp }$ в $\left\{ A x\right\}^{\perp }$.

Доказать, что подобные операторы в банаховых пространствах либо оба фредгольмовы и их индексы совпадают, либо оба не фредгольмовы.

Доказать, что всякий обратимый оператор в банаховом пространстве фредгольмов.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{K}(X, Y)$. Доказать, что $A \in \mathcal{F}(X, Y)$ тогда и только тогда, когда оба пространства $X$ и $Y$ конечномерны.

Пусть $X$ — банахово пространство и $A$ — фредгольмов оператор в $X$. Доказать, что тогда оператор $A^{\prime }$ также фредгольмов и $\alpha \left(A^{\prime }\right) = \beta (A), \beta \left(A^{\prime }\right) = \alpha (A)$.

Доказать теоремы 11.5-11.8 для случая гильбертова пространства $H$ и конечномерного оператора $A \in \mathcal{B}(H)$.

Доказать первую теорему Фредгольма 11.6 для случая гильбертова пространства.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{K}(X)$ и $T = I-A$. Доказать, что $\alpha (T) < \infty$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{K}(X)$ и $T = I-A$. Доказать, что подпространство $\operatorname {Im} T$ замкнуто в $X$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{K}(X)$ и $T = I-A$. Доказать, что $\beta (T) < \infty$.

Доказать теорему 11.3.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{K}(X)$ и $T = I-A$. Доказать, что:

Пусть $X, Y$ и $Z$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{F}(Y, Z)$, $B \in \mathcal{F}(X, Y)$. Доказать, что $A B \in \mathcal{F}(X, Z)$ и ind $(A B) =$ ind $A+$ ind $B$.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{I B}(X, Y)$ — обратимый оператор, $T \in \mathcal{K}(X, Y)$. Доказать, что $A+T \in \mathcal{F}(X, Y)$ и

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{F}(X, Y)$ и ind $A = 0$. Не используя теорему 11.4, доказать теорему $\Phi$. Рисса о разложении: существует такой обратимый оператор $R \in \mathcal{I B}(X, Y)$ и такой конечномерный оператор $S$, что $A = R+S$.

Доказать теорему 11.4.

(Первая теорема об устойчивости индекса). Пусть $X$ и $Y$ банаховы пространства, $S \in \mathcal{F}(X, Y), T \in \mathcal{K}(X, Y)$. Доказать, что $S+T \in \mathcal{F}(X, Y)$ и

(Вторая теорема об устойчивости индекса). Пусть $X$ и $Y$ банаховы пространства, $S \in \mathcal{F}(X, Y)$. Доказать, что найдётся такое $\varepsilon > 0$, что для всякого оператора $T \in \mathcal{B}(X, Y)$ с $\left\| T\right\| < \varepsilon$ имеет место включение $S+T \in \mathcal{F}(X, Y)$ и равенство $\operatorname {ind}(S+T) = \operatorname {ind} S$.

Пусть $X \subset Y$ — банаховы пространства. Доказать, что оператор вложения $J: X \rightarrow Y$ фредгольмов тогда и только тогда, когда коразмерность линейного пространства $X$ в $Y$ конечна.

Доказать, что оператор проектирования в банаховом пространстве фредгольмов тогда и только тогда, когда его образ имеет конечную коразмерность.

Доказать, что следующие операторы фредгольмовы:

При каких условиях на последовательность $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{1}^{\infty } \in l_{\infty }$ оператор $A x = \left(\lambda_{1} x_{1}, \lambda_{2} x_{2}, \ldots , \lambda_{n} x_{n}, \ldots \right)$ в $l_{p}$, где $1 \leqslant p < \infty$, является фредгольмовым оператором? В тех случаях, когда оператор фредгольмов, вычислить $\alpha (A), \beta (A)$ и ind $A$.

При каких условиях на функцию а оператор $(A x)(t) = a(t) x(t)$ является фредгольмовым:

Доказать, что операторы правого и левого сдвига в любом из пространств $l_{p}, p \in [1, \infty ]$, с или $c_{0}$ фредгольмовы. Вычислить дефектные числа и индекс для этих операторов.

Доказать, что оператор $(A x)(t) = x(t+a)$ фредгольмов в любом из пространств $L_{p}(\mathbb {R}), p \in [1, \infty ], B C(\mathbb {R})$. Вычислить $\alpha (A)$, $\beta (A)$ и $\operatorname {ind} A$ для этого оператора в каждом из указанных пространств.

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — ортонормированный базис в гильбертовом пространстве $H$, а система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ квадратично близка к нему, т. е. $\sum_{n = 1}^{\infty }\left\| x_{n}-e_{n}\right\|^{2} < \infty$. Доказать, что в этих условиях следующие утверждения эквивалентны:

1. система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ полна;

2. система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ минимальна;

3. система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Рисса. ¹

Доказать, что общее решение уравнения

(относительно функции $x$ при известной $y$) имеет вид

здесь $c_{i} \in \mathbb {C}, 1 \leqslant i \leqslant n$, являются решениями системы уравнений

где коэффициенты $a_{i j}$ и $b_{i}$ зависят от $y, p_{i}$ и $q_{i}$. Сформулировать альтернативу Фредгольма в терминах матрицы $a_{i j}$ и правой части $b_{i}$. Функции $p_{i}$ считать линейно независимыми.

В пространстве $C[0,1]$ найти решение следующих интегральных уравнений при всех значениях комплексных параметров $\lambda , \alpha , \beta$ и $\gamma$ :

В пространстве $C[0, \pi ]$ найти решение следующих интегральных уравнений при всех значениях комплексных параметров $\lambda , \alpha$ и $\beta$ :

При каких условиях на функцию $y \in L_{2}[0, \pi ]$ и параметр $\lambda \in \mathbb {C}$ уравнение

имеет единственное решение в пространстве $L_{2}[0, \pi ]$?

Найти все $\beta \in \mathbb {R}$, для каждого из которых уравнение

разрешимо в $L_{2}[0,1]$ при любом $\alpha \in \mathbb {R}$.

В пространстве $L_{2}[0,1]$ найти решение следующих интегральных уравнений при всех значениях комплексных параметров $\lambda , a$ и $b$ :

В пространстве $L_{2}[0,1]$ найти решение следующих интегральных уравнений при всех значениях $\lambda \in \mathbb {C}$ :

В пространстве $L_{2}[0,1]$ найти решение интегрального уравнения при всех значениях $\lambda \in \mathbb {C}$ :

если

В пространстве $L_{2}[0,1]$ найти решение интегрального уравнения при всех значениях $\lambda \in \mathbb {C}$ :

если

В пространстве $L_{2}[0,1]$ найти решение интегрального уравнения при всех значениях $\lambda \in \mathbb {C}$ :

если

Разрешимо ли уравнение Фредгольма первого рода

где