Локально выпуклые пространства как полинормированные пространства

Доказать, что полинормированное пространство локально выпукло.

Пусть $X$ — линейное топологическое локально выпуклое пространство. Доказать, что топология в $X$ может быть задана некоторой системой полунорм, т. е. $X$ можно считать полинормированным пространством.

Доказать, что сходимость в пространствах $s, \mathcal{A}(D), C^{\infty }[0,1]$, $C(\mathbb {R})$ и $C_{\mathrm{e}}(\mathbb {R})$ задаётся указанной в списке пространств системой полунорм (обратите внимание, что для всех пространств, кроме $C_{\mathrm{e}}(\mathbb {R})$, эта система полунорм счётна).

Доказать, что топология полинормированного пространства $(X,\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A})$ с указанной в преамбуле базой $\mathcal{B}$ окрестностей нуля является пересечением $\bigcap \tau$ всех топологий $\tau$, относительно каждой из которых непрерывны все полунормы $p_{\alpha }, \alpha \in A$.

Доказать, что последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ в полинормированном пространстве $(X,\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A})$ сходится (в смысле топологии, порождённой системой полунорм) к вектору $x$ тогда и только тогда, когда $p_{\alpha }\left(x_{n}-x\right) \rightarrow 0$ относительно всякой полунормы $p_{\alpha }$.

Доказать, что полинормированное пространство $X$ является хаусдорфовым относительно топологии, порождённой системой его полунорм $\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$, тогда и только тогда, когда для каждого вектора $x \in X, x \neq 0$, существует такая полунорма $p_{\alpha }, \alpha = \alpha (x)$, что $p_{\alpha }(x) > 0$.

Доказать, что пространства $s, l_{2}^{\infty }, C^{\infty }[0,1], \mathcal{A}(D), C(\mathbb {R})$ и $C_{\mathrm{e}}[0,1]$ хаусдорфовы.

Пусть на линейном пространстве $X$ заданы два семейства полунорм $\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A_{1}}$ и $\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A_{2}}$. Обозначим топологии, порожденные этими семействами, через $\tau_{1}$ и $\tau_{2}$. Доказать, что $\tau_{1}$ слабее $\tau_{2}$ тогда и только тогда, когда второе семейство полунорм мажорирует первое.

Не используя теорему 14.2, доказать, что хаусдорфово полинормированное пространство $X$ нормируемо тогда и только тогда, когда его семейство полунорм эквивалентно своему конечному подсемейству.

Пусть в счётно-нормированном пространстве $X$ каждая последующая полунорма мажорирует предыдущую, но не эквивалентна ей. Доказать, что $X$ не нормируемо.

Доказать, что пространства $s, l_{2}^{\infty }, C^{\infty }[0,1], \mathcal{A}(D), C(\mathbb {R})$ и $C_{\mathrm{e}}[0,1]$ не нормируемы.

Не используя теорему 14.1, доказать, что хаусдорфово полинормированное пространство метризуемо тогда и только тогда, когда его семейство полунорм эквивалентно своему не более чем счётному подсемейству. В частности, любое хаусдорфово счёт-но-нормированное пространство метризуемо.

Доказать, что пространство $C_{\mathrm{e}}[0,1]$ не метризуемо.

Доказать, что пространства $s, l_{2}^{\infty }, C^{\infty }[0,1], \mathcal{A}(D)$ и $C(\mathbb {R})$ являются сепарабельными пространствами Фреше.

Доказать, что множество $E$ в полинормированном пространстве $(X,\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A})$ ограничено в смысле определения 14.3 тогда и только тогда, когда для всякого $\alpha \in A$ существует такая константа $C_{\alpha } > 0$, что $\sup \left\{ p_{\alpha }(x): x \in E\right\} < C_{\alpha }$.

Доказать, что множество $M$ в пространстве $s$ предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено, т. е. для любого $k \in \mathbb {N}$ существует такое $A_{k} > 0$, что $\left|x_{k}\right| \leqslant A_{k}$ для всех $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \in M$.

Доказать, что множество $M$ в пространстве $C^{\infty }[0,1]$ предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено, т. е. для любого $k = 0,1,2, \ldots$ существует такое $A_{k} > 0$, что $\max_{t \in [0,1]}\left|x^{(k)}(t)\right| \leqslant A_{k}$ для всех $x \in M$.

(Принцип компактности, П. Монтель, 1910). Доказать, что множество $M$ в пространстве $\mathcal{A}(D)$ предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено в пространстве $\mathcal{A}(D)$ (т. е. $\sup \left\{ \left|f(z)\right|: f \in M, z \in Q\right\} < \infty$ для любого компакта $Q \subset D$).

Являются ли множества:

Является ли множество голоморфных на отрезке $[0,1]$ функций замкнутым подпространством в пространстве $C^{\infty }[0,1]$?

Доказать, что линейное подпространство непрерывных ограниченных на $\mathbb {R}$ функций является незамкнутым всюду плотным подпространством в полинормированном пространстве $C(\mathbb {R})$.

Доказать, что любое конечномерное подпространство в хаусдорфовом полинормированном пространстве замкнуто.

Пусть $Y$ — замкнутое подпространство полинормированного пространства $(X,\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A})$. Доказать, что

• полунормы на линейном пространстве $X / Y$.

Пусть $X$ — счётно-нормированное пространство, а $Y$ его собственное замкнутое подпространство. Вектор $x \in X$ называется $\varepsilon$-перпендикуляром к $Y$, если $d(x, 0) = 1$ и $d(x, Y) > 1-\varepsilon$. Доказать, что $\varepsilon$-перпендикуляр к $Y$ существует при любом $\varepsilon > 0$.

Пусть $X$ является счётно-нормированным пространством Фреше. Доказать, что любая система вложенных замкнутых шаров пространства $X$ имеет непустое пересечение (сравните с задачей 2.68).

Пусть $X$ является счётно-нормированным пространством Фреше. Доказать, что если $Y$ — конечномерное подпространство в $X$, а $x$ — произвольный вектор из $X$, то в $Y$ найдётся вектор $y_{0}$, для которого $\operatorname {dist}(x, Y) = d\left(x, y_{0}\right)$ (сравните с задачей 2.70).

Пусть $f$ — линейный функционал на полинормированном пространстве $(X,\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A})$. Доказать эквивалентность следующих условий:

1. $f$ непрерывен в каждой точке $x \in X$;

2. $f$ непрерывен в нуле;

3. существуют такие $\alpha_{1}, \ldots \alpha_{n} \in A$ и константа $C > 0$, что для любого $x \in X$ справедливо неравенство

   $$\left|f(x)\right| \leqslant C \max \left\{ p_{\alpha _{1}}(x), \ldots , p_{\alpha _{n}}(x)\right\}$$

Привести пример такого полинормированного пространства $(X,\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A})$ и такого непрерывного линейного функционала $f$ в нём, что оценка $\left|f(x)\right| \leqslant C p_{\alpha }(x)$ не выполняется ни для одной полунормы $p_{\alpha }$.

(Аналог теоремы Хана-Банаха). Пусть $(X,\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A})$ — хаусдорфово полинормированное пространство. Доказать, что если $f$ — линейный непрерывный комплекснозначный функционал, определённый на линейном подпространстве $Y$ пространства $X$, то существует линейный непрерывный функционал $F$, определённый на всём $X$ и совпадающий с $f$ на подпространстве $Y$. Вывести отсюда, что для всякого $x \in X, x \neq 0$, существует такой линейный непрерывный функционал $f$ на $X$, что $f(x) \neq 0$.

Доказать, что функционал $f_{n}(x) = x^{(n)}(0)$ непрерывен на $C^{\infty }[-1,1]$ для любого $n = 0,1,2, \ldots$

Доказать, что любой линейный непрерывный функционал на пространстве $s$ имеет вид $f\left(\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)\right) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} y_{n}$, где $y = \left(y_{1}, y_{2}, \ldots \right) \in c_{00}$.

Доказать, что любой линейный непрерывный функционал на пространстве $C(\mathbb {R})$ имеет вид $f(x) = \int_{\mathbb {R}} x(t) d y(t)$, где $y \in B V(\mathbb {R})$, причём мера $d y$ финитна (т. е. существует такое $A = A(y) > 0$, что $y(t) \equiv \operatorname {const}_{1}$ при $t > A$ и $y(t) \equiv \operatorname {const}_{2}$ при $t < -A$).

Доказать, что любой линейный непрерывный функционал на пространстве $C_{e}[0,1]$ имеет вид $f(x) = \sum_{k = 1}^{n} \lambda_{k} x\left(\alpha_{k}\right)$, где $n \in \mathbb {N}$, $\lambda_{k} \in \mathbb {R}, \alpha_{k} \in [0,1](k = 1, \ldots , n)$.

Доказать, что в полинормированном пространстве со счетным набором полунорм всякий секвенциально непрерывный линейный функционал является непрерывным.

Доказать, что в пространстве $C_{\mathrm{e}}[0,1]$ всякий секвенциально непрерывный линейный функционал является непрерывным.

Пусть пространство $C_{0}^{1}(\mathbb {R})$ состоит из непрерывно дифференцируемых функций $x: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, каждая из которых равна нулю вне некоторого (своего) отрезка. Пусть на этом пространстве введена система полунорм $\left\{ p_{g}: g \in C(\mathbb {R})\right\} \cup \left\{ P\right\}$, где $p_{g}(x) = \sup \left\{ \left|g(t) x(t)\right|: t \in \mathbb {R}\right\} , P(x) = \sup \left\{ \left|x^{\prime }(t)\right|: t \in \mathbb {R}\right\}$. Доказать, что

Доказать, что в следующих пространствах нет ни одного непрерывного линейного функционала, кроме нулевого:

Пусть $(X,\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A})$ и $(Y,\left\{ p_{\gamma }\right\}_{\gamma \in G})$ — полинормированные пространства, $T: X \rightarrow Y$ — линейное отображение. Доказать, что следующие условия эквивалентны:

1. $T$ непрерывно в каждой точке пространства $X$;

2. $T$ непрерывно в нуле;

3. для любой полунормы $p_{\gamma }, \gamma \in G$, существуют такие индексы $\alpha_{1}, \ldots \alpha_{n} \in A$ и константа $C > 0$ (зависящие от $\gamma$), что для любого $x \in X$ справедливо неравенство $p_{\gamma }(T x) \leqslant C \max \left\{ p_{\alpha_{1}}(x), \ldots , p_{\alpha_{n}}(x)\right\}$.

Доказать, что оператор дифференцирования $(A f)(z) = f^{\prime }(z)$ в пространстве $\mathcal{A}(D)$, где $D \subset \mathbb {C}$ — произвольная область, непрерывен.

Доказать, что оператор дифференцирования $(A x)(t) = x^{\prime }(t)$ непрерывен в пространстве $C^{\infty }[0,1]$. Найти его образ и ядpo. $\downarrow$

Доказать, что оператор умножения на бесконечно дифференцируемую функцию $(A x)(t) = a(t) x(t)$ непрерывен в пространстве $C^{\infty }[0,1]$. Найти его образ и ядро в случаях

(Аналог теоремы Банаха об обратном операторе). Пусть $X$ и $Y$ — счётно-нормированные пространства Фреше, а $T: X \rightarrow Y$ линейный непрерывный биективный оператор. Доказать, что $T$ имеет линейный непрерывный обратный оператор.

(Аналог теоремы Банаха-Штейнгауза). Пусть $\mathcal{M}$ — произвольное семейство непрерывных линейных операторов из счётно-нормированного пространства Фреше $(X,\left\{ p_{n}\right\}_{1}^{\infty })$ в счётно-нормированное пространство Фреше $(Y,\left\{ q_{n}\right\}_{1}^{\infty })$, причём для любого $x \in X$ и $n \in \mathbb {N}$ множество $\left\{ q_{n}(T x): T \in \mathcal{M}\right\}$ ограничено. Доказать, что для любой полунормы $q_{n}$ найдутся такие полунормы $p_{k_{1}}, \ldots , p_{k_{j}}$ и такая постоянная $C_{n} > 0$, что $q_{n}(T x) \leqslant C_{n} \max \left\{ p_{k_{1}}(x), \ldots , p_{k_{j}}(x)\right\}$ для всех $x \in X$ и $T \in \mathcal{M}$.