Топологические пространства

Пусть $(X, \tau )$ — топологическое пространство, а $\sigma$ — совокупность всех его замкнутых множеств. Доказать, что

1. $\varnothing , X \in \sigma$;

2. пересечение произвольного семейства множеств из $\sigma$ принадлежит $\sigma$;

3. объединение любого конечного семейства множеств из $\sigma$ принадлежит $\sigma$. Пусть, наоборот, $X$ — некоторое множество, а $\sigma$ — семейство его подмножеств, удовлетворяющее условиям (1), (2), (3). Доказать, что совокупность подмножеств $\tau$, состоящая из дополнений к множествам из $\sigma$, есть топология на $X$.

Пусть $X$ — множество, а $\beta_{0}$ — произвольное семейство его подмножеств, образующих покрытие $X$. Доказать, что существует единственная топология на $X$, предбазой которой служит $\beta_{0}$.

Пусть $\left\{ \tau_{\alpha }\right\}$ — некоторый набор топологий на множестве $X$. Доказать, что система $\tau = \bigcap_{\alpha } \tau_{\alpha }$ есть топология ($\tau$ слабее любой из топологий $\tau_{\alpha }$).

Доказать, что система открытых подмножеств $\beta$ топологического пространства $X$ образует базу топологии $\tau$ тогда и только тогда, когда каждый элемент $\tau$ является объединением каких-то элементов $\beta$.

Пусть $\tau_{1}$ и $\tau_{2}$ — две топологии на множестве $X$ с базами $\beta_{1}$ и $\beta_{2}$ соответственно. Доказать, что $\tau_{1}$ слабее $\tau_{2}$ тогда и только тогда, когда для любого $B_{1} \in \beta_{1}$ и любой точки $x \in B_{1}$ найдётся такое $B_{2} \in \beta_{2}$, что $x \in B_{2} \subset B_{1}$.

Привести пример топологического пространства, не удовлетворяющего аксиоме $T_{1}$.

Доказать, что аксиома $T_{1}$ эквивалентна следующей аксиоме: любое множество, состоящее из конечного числа точек, замкнуто.

Привести пример топологического пространства, удовлетворяющего аксиоме $T_{1}$, но не удовлетворяющего аксиоме Хаусдорфа.

Привести пример хаусдорфова, но не регулярного топологического пространства.

Доказать, что любое метрическое пространство нормально (в топологии метрики).

Привести пример регулярного, но не нормального топологического пространства.

Доказать, что любое метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счётности.

Доказать, что в топологическом пространстве, удовлетворяющем первой аксиоме счётности, точка $x$ является предельной точкой множества $A$ тогда и только тогда, когда существует последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ точек из $A$, сходящаяся к $x$.

Доказать, что метрическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счётности тогда и только тогда, когда оно сепарабельно. Доказать, что топологическое пространство со счётной базой сепарабельно, но не всякое сепарабельное пространство имеет счётную базу.

(Свойство Э. Линделёфа). Пусть $X$ — топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности. Доказать, что из всякого набора открытых множеств в $X$ можно выбрать не более чем счётный поднабор с тем же объединением.

Доказать, что в хаусдорфовом пространстве у каждой последовательности существует не более одного предела. Привести примеры нехаусдорфовых пространств, в одном из которых это свойство, тем не менее, выполнено, а в другом — нет.

На множестве непрерывных на отрезке $[0,1]$ функций зададим топологию следующим образом. Множество $U$ назовём открытым, если каждая точка $x \in U$ входит в $U$ со своей окрестностью

где $0 \leqslant t_{1} < \ldots < t_{n} \leqslant 1$ — некоторый набор точек, $n \in \mathbb {N}$, а $\varepsilon_{k} > 0$, $1 \leqslant k \leqslant n$. Проверить аксиомы топологии и доказать, что это топологическое пространство хаусдорфово. Доказать, что последовательность $x_{n} \rightarrow x$ в этой топологии тогда и только тогда, когда $x_{n}$ сходится к $x$ поточечно, т. е. $x_{n}(t) \rightarrow x(t)$ для любого $t \in [0,1]$. Привести пример множества и его предельной точки, не являющейся пределом никакой последовательности точек этого множества.

Доказать, что система $\tau = \left\{ \varnothing \right\} \cap \left\{ U \subset [0,1]:[0,1] \backslash U\text{ содержит не более чем счётное число точек}\right\}$ образует топологию. Привести пример множества $A \subset [0,1]$ и его предельной точки, не являющейся пределом никакой последовательности точек $A$.

Привести пример двух не сравнимых ¹ топологий на одном и том же множестве, задающих одну и ту же сходимость.

Привести пример сепарабельного топологического пространства, обладающего несепарабельным подпространством.

Доказать, что в пространстве измеримых по Лебегу функций на отрезке $[0,1]$ сходимость почти всюду не задаётся никакой топологией.

Доказать, что в топологических пространствах отображение непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества открыт.

Доказать, что в топологических пространствах отображение непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого замкнутого множества замкнут.

Доказать, что в топологическом пространстве $(X, \tau )$ с первой аксиомой счётности непрерывность функции $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ эквивалентна её секвенциальной непрерывности. Привести пример секвенциально непрерывного, но разрывного отображения топологического пространства.

Пусть $X$ — метрическое пространство, $M_{1}, M_{2}$ — замкнутые множества в нём, причём $M_{1} \cap M_{2} = \varnothing$. Построить такую непрерывную функцию $f: X \rightarrow [0,1]$, что $\left.f\right|_{M_{1}} = 0$ и $\left.f\right|_{M_{2}} = 1$.

Пусть $X$ — полное метрическое пространство, $M$ — замкнутое множество в нём, $U_{1}, U_{2}, \ldots , U_{n}$ — покрытие $M$ открытыми множествами. Построить систему непрерывных функций

называемую разбиением единицы, соответствующим покрытию $U_{j}$, удовлетворяющую условиям

1. $0 \leqslant e_{j}(x) \leqslant 1$ для любого $x \in X$;

2. $e_{j}(x) = 0$, если $x \notin U_{j}$;

3. $\sum_{j = 1}^{n} e_{j}(x) = 1$ для любого $x \in M$.

Пусть $(X, \tau )$ — топологическое пространство. Доказать, что оно компактно тогда и только тогда, когда любая центрированная ¹ система замкнутых множеств имеет непустое пересечение.

Пусть $X, Y$ — топологические пространства, а множество $M \subset X$ компактно. Докажите, что:

Доказать, что компактное хаусдорфово пространство (т. е. компакт) нормально.

Пусть $M$ — компактное множество в топологическом пространстве $X$, а $f: M \rightarrow Y$ — непрерывное биективное отображение $M$ на хаусдорфово пространство $Y$. Доказать, что обратное отображение $f^{-1}$ также непрерывно, т.е. $f$ есть гомеоморфизм М и $Y$.

Доказать теорему 4.1: подмножество метрического пространства $X$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и секвенциально компактно (то есть всякая последовательность его элементов содержит сходящуюся в $X$ подпоследовательность).