Топологические, линейные топологические и полинормированные пространства

Пусть $(X, \tau )$ — топологическое пространство, а $\sigma$ — совокупность всех его замкнутых множеств. Доказать, что

1. $\varnothing , X \in \sigma$;

2. пересечение произвольного семейства множеств из $\sigma$ принадлежит $\sigma$;

3. объединение любого конечного семейства множеств из $\sigma$ принадлежит $\sigma$. Пусть, наоборот, $X$ — некоторое множество, а $\sigma$ — семейство его подмножеств, удовлетворяющее условиям (1), (2), (3). Доказать, что совокупность подмножеств $\tau$, состоящая из дополнений к множествам из $\sigma$, есть топология на $X$.

Пусть $X$ — множество, а $\beta_{0}$ — произвольное семейство его подмножеств, образующих покрытие $X$. Доказать, что существует единственная топология на $X$, предбазой которой служит $\beta_{0}$.

Пусть $\left\{ \tau_{\alpha }\right\}$ — некоторый набор топологий на множестве $X$. Доказать, что система $\tau = \bigcap_{\alpha } \tau_{\alpha }$ есть топология ($\tau$ слабее любой из топологий $\tau_{\alpha }$).

Доказать, что система открытых подмножеств $\beta$ топологического пространства $X$ образует базу топологии $\tau$ тогда и только тогда, когда каждый элемент $\tau$ является объединением каких-то элементов $\beta$.

Пусть $\tau_{1}$ и $\tau_{2}$ — две топологии на множестве $X$ с базами $\beta_{1}$ и $\beta_{2}$ соответственно. Доказать, что $\tau_{1}$ слабее $\tau_{2}$ тогда и только тогда, когда для любого $B_{1} \in \beta_{1}$ и любой точки $x \in B_{1}$ найдётся такое $B_{2} \in \beta_{2}$, что $x \in B_{2} \subset B_{1}$.

Привести пример топологического пространства, не удовлетворяющего аксиоме $T_{1}$.

Доказать, что аксиома $T_{1}$ эквивалентна следующей аксиоме: любое множество, состоящее из конечного числа точек, замкнуто.

Привести пример топологического пространства, удовлетворяющего аксиоме $T_{1}$, но не удовлетворяющего аксиоме Хаусдорфа.

Привести пример хаусдорфова, но не регулярного топологического пространства.

Доказать, что любое метрическое пространство нормально (в топологии метрики).

Привести пример регулярного, но не нормального топологического пространства.

Доказать, что любое метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счётности.

Доказать, что в топологическом пространстве, удовлетворяющем первой аксиоме счётности, точка $x$ является предельной точкой множества $A$ тогда и только тогда, когда существует последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ точек из $A$, сходящаяся к $x$.

Доказать, что метрическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счётности тогда и только тогда, когда оно сепарабельно. Доказать, что топологическое пространство со счётной базой сепарабельно, но не всякое сепарабельное пространство имеет счётную базу.

(Свойство Э. Линделёфа). Пусть $X$ — топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности. Доказать, что из всякого набора открытых множеств в $X$ можно выбрать не более чем счётный поднабор с тем же объединением.

Доказать, что в хаусдорфовом пространстве у каждой последовательности существует не более одного предела. Привести примеры нехаусдорфовых пространств, в одном из которых это свойство, тем не менее, выполнено, а в другом — нет.

На множестве непрерывных на отрезке $[0,1]$ функций зададим топологию следующим образом. Множество $U$ назовём открытым, если каждая точка $x \in U$ входит в $U$ со своей окрестностью

где $0 \leqslant t_{1} < \ldots < t_{n} \leqslant 1$ — некоторый набор точек, $n \in \mathbb {N}$, а $\varepsilon_{k} > 0$, $1 \leqslant k \leqslant n$. Проверить аксиомы топологии и доказать, что это топологическое пространство хаусдорфово. Доказать, что последовательность $x_{n} \rightarrow x$ в этой топологии тогда и только тогда, когда $x_{n}$ сходится к $x$ поточечно, т. е. $x_{n}(t) \rightarrow x(t)$ для любого $t \in [0,1]$. Привести пример множества и его предельной точки, не являющейся пределом никакой последовательности точек этого множества.

Доказать, что система $\tau = \left\{ \varnothing \right\} \cap \left\{ U \subset [0,1]:[0,1] \backslash U\text{ содержит не более чем счётное число точек}\right\}$ образует топологию. Привести пример множества $A \subset [0,1]$ и его предельной точки, не являющейся пределом никакой последовательности точек $A$.

Привести пример двух не сравнимых ¹ топологий на одном и том же множестве, задающих одну и ту же сходимость.

Привести пример сепарабельного топологического пространства, обладающего несепарабельным подпространством.

Доказать, что в пространстве измеримых по Лебегу функций на отрезке $[0,1]$ сходимость почти всюду не задаётся никакой топологией.

Доказать, что в топологических пространствах отображение непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества открыт.

Доказать, что в топологических пространствах отображение непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого замкнутого множества замкнут.

Доказать, что в топологическом пространстве $(X, \tau )$ с первой аксиомой счётности непрерывность функции $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ эквивалентна её секвенциальной непрерывности. Привести пример секвенциально непрерывного, но разрывного отображения топологического пространства.

Пусть $X$ — метрическое пространство, $M_{1}, M_{2}$ — замкнутые множества в нём, причём $M_{1} \cap M_{2} = \varnothing$. Построить такую непрерывную функцию $f: X \rightarrow [0,1]$, что $\left.f\right|_{M_{1}} = 0$ и $\left.f\right|_{M_{2}} = 1$.

Пусть $X$ — полное метрическое пространство, $M$ — замкнутое множество в нём, $U_{1}, U_{2}, \ldots , U_{n}$ — покрытие $M$ открытыми множествами. Построить систему непрерывных функций

называемую разбиением единицы, соответствующим покрытию $U_{j}$, удовлетворяющую условиям

1. $0 \leqslant e_{j}(x) \leqslant 1$ для любого $x \in X$;

2. $e_{j}(x) = 0$, если $x \notin U_{j}$;

3. $\sum_{j = 1}^{n} e_{j}(x) = 1$ для любого $x \in M$.

Пусть $(X, \tau )$ — топологическое пространство. Доказать, что оно компактно тогда и только тогда, когда любая центрированная ¹ система замкнутых множеств имеет непустое пересечение.

Пусть $X, Y$ — топологические пространства, а множество $M \subset X$ компактно. Докажите, что:

Доказать, что компактное хаусдорфово пространство (т. е. компакт) нормально.

Пусть $M$ — компактное множество в топологическом пространстве $X$, а $f: M \rightarrow Y$ — непрерывное биективное отображение $M$ на хаусдорфово пространство $Y$. Доказать, что обратное отображение $f^{-1}$ также непрерывно, т.е. $f$ есть гомеоморфизм М и $Y$.

Доказать теорему 4.1: подмножество метрического пространства $X$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и секвенциально компактно (то есть всякая последовательность его элементов содержит сходящуюся в $X$ подпоследовательность).

Пусть в линейном топологическом пространстве множество $A$ открыто, а множество $B$ — произвольное. Доказать, что множество $A+B$ открыто.

Пусть в линейном топологическом пространстве множества $A$ и $B$ — замкнутые линейные подпространства. Верно ли, что $A+B$ — также замкнутое подпространство?

Пусть в линейном топологическом пространстве множество $A$ замкнуто, а множество $B$ компактно. Верно ли, что множество $A+B$ замкнуто?

Пусть в линейном топологическом пространстве $X$ множества $A$ и $B$ компактны. Будет ли компактным множество $C = A+B$?

Пусть в линейном топологическом пространстве множество $A$ открыто, а множество $B$ замкнуто. Доказать, что для любого скаляра $\lambda$ множество $\lambda A$ открыто, а множество $\lambda B$ замкнуто.

В нормированном пространстве описать какую-нибудь локальную базу $\mathcal{B}$ окрестностей нуля.

Привести пример топологии в линейном пространстве, относительно которой сложение непрерывно, а умножение на скаляр разрывно. $\downarrow$

Привести пример топологии в линейном пространстве, относительно которой сложение разрывно, а умножение на скаляр непрерывно.

Доказать, что линейное топологическое пространство удовлетворяет третьей аксиоме отделимости $T_{3}$.

Доказать, что линейное топологическое пространство отделимо (то есть удовлетворяет первой аксиоме отделимости $T_{1}$) тогда и только тогда, когда пересечение всех окрестностей нуля состоит только из нуля. В частности, всякое локально ограниченное линейное топологическое пространство отделимо.

Доказать, что в конечномерном линейном пространстве $X$ есть только одна топология (с точностью до эквивалентности), относительно которой $X$ является отделимым линейным топологическим пространством.

Пусть $X$ — линейное пространство. Доказать, что среди всех отделимых топологий, превращающих $X$ в локально выпуклое линейное топологическое пространство, существует самая сильная топология (её называют ядерно-выпуклой топологией). Доказать, что эту топологию можно эквивалентно определить так: база окрестностей нуля состоит из всех выпуклых множеств, содержащих нуль и пересекающихся с каждой прямой, проходящей через нуль, по интервалу положительной длины.

Доказать теорему 14.1.

Теорема 14.1: хаусдорфово полинормированное пространство метризуемо тогда и только тогда, когда его семейство полунорм эквивалентно своему не более чем счётному подсемейству.

Доказать теорему 14.2.

Теорема 14.2: хаусдорфово полинормированное пространство нормируемо тогда и только тогда, когда его семейство полунорм эквивалентно своему конечному подсемейству.

Найти крайние точки единичного шара в пространствах

Найти крайние точки единичного шара в пространстве $BV_{0}[0,1]$ над полем $\mathbb {C}$.

Доказать, что среди комплексных пространств $l_{1}, l_{2}, l_{\infty }, c_{0}$, $c, L_{1}[0,1], L_{\infty }[0,1], C[0,1], B V[0,1], B C(\mathbb {R}), C_{0}(\mathbb {R})$ нет ни одной пары изометрически изоморфных пространств.

Доказать, что существует изометрическое вложение пространства $l_{\infty }$ в пространство $L_{\infty }[0,1]$ и изометрическое вложение $L_{\infty }[0,1]$ в $l_{\infty }$ (хотя сами пространства $L_{\infty }[0,1]$ и $l_{\infty }$, согласно предыдущей задаче, не являются изометрически изоморфными).

Пусть $l_{p}, p \in (0,1)$, — комплексное или вещественное линейное пространство бесконечных последовательностей $(x_{1}, x_{2}, \ldots )$, для которых ряд $\sum_{k = 1}^{\infty }\left|x_{k}\right|^{p}$ сходится. Зададим базу окрестностей нуля $\mathcal{B} = \left\{ G_{r}\right\}_{r > 0}$, где $G_{r} = \left\{ x: \sum_{k = 1}^{\infty }\left|x_{k}\right|^{p} < r\right\}$. Доказать, что эта база задаёт линейное топологическое пространство, которое не является локально выпуклым.

Проверить, является ли линейное пространство с дискретной топологией (это топология, в которой открытыми являются все множества) линейным топологическим.

Рассмотрим пространство классов эквивалентности измеримых по Лебегу на $[0,1]$ функций с метрикой

Доказать, что это $F$-пространство, которое локально ограничено (но не локально выпукло — см. задачу 14.89) и сепарабельно. Доказать, что последовательность измеримых функций сходится по метрике этого пространства тогда и только тогда, когда она сходится по мере Лебега на [0,1].

Доказать, что полинормированное пространство локально выпукло.

Пусть $X$ — линейное топологическое локально выпуклое пространство. Доказать, что топология в $X$ может быть задана некоторой системой полунорм, т. е. $X$ можно считать полинормированным пространством.

Доказать, что сходимость в пространствах $s, \mathcal{A}(D), C^{\infty }[0,1]$, $C(\mathbb {R})$ и $C_{\mathrm{e}}(\mathbb {R})$ задаётся указанной в списке пространств системой полунорм (обратите внимание, что для всех пространств, кроме $C_{\mathrm{e}}(\mathbb {R})$, эта система полунорм счётна).

Доказать, что топология полинормированного пространства $(X,\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A})$ с указанной в преамбуле базой $\mathcal{B}$ окрестностей нуля является пересечением $\bigcap \tau$ всех топологий $\tau$, относительно каждой из которых непрерывны все полунормы $p_{\alpha }, \alpha \in A$.

Доказать, что последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ в полинормированном пространстве $(X,\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A})$ сходится (в смысле топологии, порождённой системой полунорм) к вектору $x$ тогда и только тогда, когда $p_{\alpha }\left(x_{n}-x\right) \rightarrow 0$ относительно всякой полунормы $p_{\alpha }$.

Доказать, что полинормированное пространство $X$ является хаусдорфовым относительно топологии, порождённой системой его полунорм $\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$, тогда и только тогда, когда для каждого вектора $x \in X, x \neq 0$, существует такая полунорма $p_{\alpha }, \alpha = \alpha (x)$, что $p_{\alpha }(x) > 0$.

Доказать, что пространства $s, l_{2}^{\infty }, C^{\infty }[0,1], \mathcal{A}(D), C(\mathbb {R})$ и $C_{\mathrm{e}}[0,1]$ хаусдорфовы.

Пусть на линейном пространстве $X$ заданы два семейства полунорм $\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A_{1}}$ и $\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A_{2}}$. Обозначим топологии, порожденные этими семействами, через $\tau_{1}$ и $\tau_{2}$. Доказать, что $\tau_{1}$ слабее $\tau_{2}$ тогда и только тогда, когда второе семейство полунорм мажорирует первое.

Не используя теорему 14.2, доказать, что хаусдорфово полинормированное пространство $X$ нормируемо тогда и только тогда, когда его семейство полунорм эквивалентно своему конечному подсемейству.

Пусть в счётно-нормированном пространстве $X$ каждая последующая полунорма мажорирует предыдущую, но не эквивалентна ей. Доказать, что $X$ не нормируемо.

Доказать, что пространства $s, l_{2}^{\infty }, C^{\infty }[0,1], \mathcal{A}(D), C(\mathbb {R})$ и $C_{\mathrm{e}}[0,1]$ не нормируемы.

Не используя теорему 14.1, доказать, что хаусдорфово полинормированное пространство метризуемо тогда и только тогда, когда его семейство полунорм эквивалентно своему не более чем счётному подсемейству. В частности, любое хаусдорфово счёт-но-нормированное пространство метризуемо.

Доказать, что пространство $C_{\mathrm{e}}[0,1]$ не метризуемо.

Доказать, что пространства $s, l_{2}^{\infty }, C^{\infty }[0,1], \mathcal{A}(D)$ и $C(\mathbb {R})$ являются сепарабельными пространствами Фреше.

Доказать, что множество $E$ в полинормированном пространстве $(X,\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A})$ ограничено в смысле определения 14.3 тогда и только тогда, когда для всякого $\alpha \in A$ существует такая константа $C_{\alpha } > 0$, что $\sup \left\{ p_{\alpha }(x): x \in E\right\} < C_{\alpha }$.

Доказать, что множество $M$ в пространстве $s$ предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено, т. е. для любого $k \in \mathbb {N}$ существует такое $A_{k} > 0$, что $\left|x_{k}\right| \leqslant A_{k}$ для всех $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \in M$.

Доказать, что множество $M$ в пространстве $C^{\infty }[0,1]$ предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено, т. е. для любого $k = 0,1,2, \ldots$ существует такое $A_{k} > 0$, что $\max_{t \in [0,1]}\left|x^{(k)}(t)\right| \leqslant A_{k}$ для всех $x \in M$.

(Принцип компактности, П. Монтель, 1910). Доказать, что множество $M$ в пространстве $\mathcal{A}(D)$ предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено в пространстве $\mathcal{A}(D)$ (т. е. $\sup \left\{ \left|f(z)\right|: f \in M, z \in Q\right\} < \infty$ для любого компакта $Q \subset D$).

Являются ли множества:

Является ли множество голоморфных на отрезке $[0,1]$ функций замкнутым подпространством в пространстве $C^{\infty }[0,1]$?

Доказать, что линейное подпространство непрерывных ограниченных на $\mathbb {R}$ функций является незамкнутым всюду плотным подпространством в полинормированном пространстве $C(\mathbb {R})$.

Доказать, что любое конечномерное подпространство в хаусдорфовом полинормированном пространстве замкнуто.

Пусть $Y$ — замкнутое подпространство полинормированного пространства $(X,\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A})$. Доказать, что

• полунормы на линейном пространстве $X / Y$.

Пусть $X$ — счётно-нормированное пространство, а $Y$ его собственное замкнутое подпространство. Вектор $x \in X$ называется $\varepsilon$-перпендикуляром к $Y$, если $d(x, 0) = 1$ и $d(x, Y) > 1-\varepsilon$. Доказать, что $\varepsilon$-перпендикуляр к $Y$ существует при любом $\varepsilon > 0$.

Пусть $X$ является счётно-нормированным пространством Фреше. Доказать, что любая система вложенных замкнутых шаров пространства $X$ имеет непустое пересечение (сравните с задачей 2.68).

Пусть $X$ является счётно-нормированным пространством Фреше. Доказать, что если $Y$ — конечномерное подпространство в $X$, а $x$ — произвольный вектор из $X$, то в $Y$ найдётся вектор $y_{0}$, для которого $\operatorname {dist}(x, Y) = d\left(x, y_{0}\right)$ (сравните с задачей 2.70).

Пусть $f$ — линейный функционал на полинормированном пространстве $(X,\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A})$. Доказать эквивалентность следующих условий:

1. $f$ непрерывен в каждой точке $x \in X$;

2. $f$ непрерывен в нуле;

3. существуют такие $\alpha_{1}, \ldots \alpha_{n} \in A$ и константа $C > 0$, что для любого $x \in X$ справедливо неравенство

   $$\left|f(x)\right| \leqslant C \max \left\{ p_{\alpha _{1}}(x), \ldots , p_{\alpha _{n}}(x)\right\}$$

Привести пример такого полинормированного пространства $(X,\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A})$ и такого непрерывного линейного функционала $f$ в нём, что оценка $\left|f(x)\right| \leqslant C p_{\alpha }(x)$ не выполняется ни для одной полунормы $p_{\alpha }$.

(Аналог теоремы Хана-Банаха). Пусть $(X,\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A})$ — хаусдорфово полинормированное пространство. Доказать, что если $f$ — линейный непрерывный комплекснозначный функционал, определённый на линейном подпространстве $Y$ пространства $X$, то существует линейный непрерывный функционал $F$, определённый на всём $X$ и совпадающий с $f$ на подпространстве $Y$. Вывести отсюда, что для всякого $x \in X, x \neq 0$, существует такой линейный непрерывный функционал $f$ на $X$, что $f(x) \neq 0$.

Доказать, что функционал $f_{n}(x) = x^{(n)}(0)$ непрерывен на $C^{\infty }[-1,1]$ для любого $n = 0,1,2, \ldots$

Доказать, что любой линейный непрерывный функционал на пространстве $s$ имеет вид $f\left(\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)\right) = \sum_{n = 1}^{\infty } x_{n} y_{n}$, где $y = \left(y_{1}, y_{2}, \ldots \right) \in c_{00}$.

Доказать, что любой линейный непрерывный функционал на пространстве $C(\mathbb {R})$ имеет вид $f(x) = \int_{\mathbb {R}} x(t) d y(t)$, где $y \in B V(\mathbb {R})$, причём мера $d y$ финитна (т. е. существует такое $A = A(y) > 0$, что $y(t) \equiv \operatorname {const}_{1}$ при $t > A$ и $y(t) \equiv \operatorname {const}_{2}$ при $t < -A$).

Доказать, что любой линейный непрерывный функционал на пространстве $C_{e}[0,1]$ имеет вид $f(x) = \sum_{k = 1}^{n} \lambda_{k} x\left(\alpha_{k}\right)$, где $n \in \mathbb {N}$, $\lambda_{k} \in \mathbb {R}, \alpha_{k} \in [0,1](k = 1, \ldots , n)$.

Доказать, что в полинормированном пространстве со счетным набором полунорм всякий секвенциально непрерывный линейный функционал является непрерывным.

Доказать, что в пространстве $C_{\mathrm{e}}[0,1]$ всякий секвенциально непрерывный линейный функционал является непрерывным.

Пусть пространство $C_{0}^{1}(\mathbb {R})$ состоит из непрерывно дифференцируемых функций $x: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, каждая из которых равна нулю вне некоторого (своего) отрезка. Пусть на этом пространстве введена система полунорм $\left\{ p_{g}: g \in C(\mathbb {R})\right\} \cup \left\{ P\right\}$, где $p_{g}(x) = \sup \left\{ \left|g(t) x(t)\right|: t \in \mathbb {R}\right\} , P(x) = \sup \left\{ \left|x^{\prime }(t)\right|: t \in \mathbb {R}\right\}$. Доказать, что

Доказать, что в следующих пространствах нет ни одного непрерывного линейного функционала, кроме нулевого:

Пусть $(X,\left\{ p_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A})$ и $(Y,\left\{ p_{\gamma }\right\}_{\gamma \in G})$ — полинормированные пространства, $T: X \rightarrow Y$ — линейное отображение. Доказать, что следующие условия эквивалентны:

1. $T$ непрерывно в каждой точке пространства $X$;

2. $T$ непрерывно в нуле;

3. для любой полунормы $p_{\gamma }, \gamma \in G$, существуют такие индексы $\alpha_{1}, \ldots \alpha_{n} \in A$ и константа $C > 0$ (зависящие от $\gamma$), что для любого $x \in X$ справедливо неравенство $p_{\gamma }(T x) \leqslant C \max \left\{ p_{\alpha_{1}}(x), \ldots , p_{\alpha_{n}}(x)\right\}$.

Доказать, что оператор дифференцирования $(A f)(z) = f^{\prime }(z)$ в пространстве $\mathcal{A}(D)$, где $D \subset \mathbb {C}$ — произвольная область, непрерывен.

Доказать, что оператор дифференцирования $(A x)(t) = x^{\prime }(t)$ непрерывен в пространстве $C^{\infty }[0,1]$. Найти его образ и ядpo. $\downarrow$

Доказать, что оператор умножения на бесконечно дифференцируемую функцию $(A x)(t) = a(t) x(t)$ непрерывен в пространстве $C^{\infty }[0,1]$. Найти его образ и ядро в случаях

(Аналог теоремы Банаха об обратном операторе). Пусть $X$ и $Y$ — счётно-нормированные пространства Фреше, а $T: X \rightarrow Y$ линейный непрерывный биективный оператор. Доказать, что $T$ имеет линейный непрерывный обратный оператор.

(Аналог теоремы Банаха-Штейнгауза). Пусть $\mathcal{M}$ — произвольное семейство непрерывных линейных операторов из счётно-нормированного пространства Фреше $(X,\left\{ p_{n}\right\}_{1}^{\infty })$ в счётно-нормированное пространство Фреше $(Y,\left\{ q_{n}\right\}_{1}^{\infty })$, причём для любого $x \in X$ и $n \in \mathbb {N}$ множество $\left\{ q_{n}(T x): T \in \mathcal{M}\right\}$ ограничено. Доказать, что для любой полунормы $q_{n}$ найдутся такие полунормы $p_{k_{1}}, \ldots , p_{k_{j}}$ и такая постоянная $C_{n} > 0$, что $q_{n}(T x) \leqslant C_{n} \max \left\{ p_{k_{1}}(x), \ldots , p_{k_{j}}(x)\right\}$ для всех $x \in X$ и $T \in \mathcal{M}$.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что слабая топология $w$ в $X$ порождается некоторым набором полунорм (т. е. $(X, w)$ — полинормированное пространство).

Доказать, что последовательность векторов нормированного пространства слабо сходится тогда и только тогда, когда она сходится в слабой топологии.

Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве слабая топология совпадает с топологией нормы.

Доказать, что в бесконечномерном нормированном пространстве любая окрестность нуля в слабой топологии содержит бесконечномерное подпространство.

Доказать, что в произвольном бесконечномерном нормированном пространстве слабая топология всегда строго слабее топологии нормы (то есть всякое открытое в слабой топологии множество открыто и в топологии нормы, но не наоборот) ¹.

Доказать, что для любого нормированного пространства слабая топология хаусдорфова.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что любой функционал $f \in X^{*}$ непрерывен относительно слабой топологии. Доказать, что наоборот, любой линейный функционал на $X$, непрерывный в слабой топологии, лежит в $X^{*}$.

Пусть $X$ — банахово пространство, а $U$ — выпуклое множество в нём. Доказать, что $U$ замкнуто относительно нормы тогда и только тогда, когда $U$ замкнуто в слабой топологии.

Привести пример банахова пространства $X$ и множества $A$ в нём, замкнутого относительно нормы, но не замкнутого в слабой топологии.

Доказать, что нормированное пространство сепарабельно относительно нормы тогда и только тогда, когда оно сепарабельно в слабой топологии.

Привести пример такого множества $M$ в пространстве $l_{2}$, что оно не открыто в слабой топологии, но для любой последовательности $x_{n}$, слабо сходящейся к $x \in M$, все $x_{n}$, начиная с некоторого номера лежат в $M$.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $X^{*}$ сепарабельно. Доказать, что слабая топология в единичном шаре пространства $X$ метризуема.

В пространстве $l_{p}, p \in (1, \infty )$, привести пример такой последовательности $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$, что $\left\| x_{n}\right\| \rightarrow \infty$, но точка 0 лежит в замыкании множества $\left\{ x_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$ в слабой топологии.

Доказать, что для любой функции $x_{0} \in L_{1}[0,1]$ множество $\left\{ x \in L_{1}[0,1]:\left|x(t)\right| \leqslant \left|x_{0}(t)\right| \text{ для почти всех } t \in [0,1]\right\}$ слабо секвенциально компактно в $L_{1}[0,1]$.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что *-слабая топология $* w$ в $X^{*}$ порождается некоторым набором полунорм (т.е. $(X^{*}, * w)$ — полинормированное пространство).

Доказать, что последовательность $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset X^{*} *$-слабо сходится тогда и только тогда, когда она сходится в *-слабой топологии.

Пусть $X$ — конечномерное нормированное пространство. Доказать, что *-слабая топология в $X^{*}$ совпадает с топологией нормы.

Пусть $X$ — бесконечномерное нормированное пространство. Доказать, что *-слабая топология в $X^{*}$ строго слабее топологии нормы.

Пусть $X$ — нормированное пространство. В пространстве $X^{*}$ рассмотрим слабую топологию (она вводится стандартным образом, при помощи функционалов из $X^{* *}$). Доказать, что если $X$ нерефлексивно, то в $X^{*}$ *-слабая топология слабее слабой топологии. Доказать, что в случае рефлексивного пространства эти топологии совпадают.

Пусть $X$ — бесконечномерное нормированное пространство. Доказать, что всякая окрестность нуля в *-слабой топологии пространства $X^{*}$ содержит бесконечномерное подпространство.

Доказать, что для любого нормированного пространства *-слабая топология в сопряжённом пространстве хаусдорфова.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что для любого линейного функционала $F$ на $X^{*}$, непрерывного в *-слабой топологии, существует такой вектор $x$ из $X$, что $F(f) = f(x)$ для любого $f \in X^{*}$.

Привести пример нормированного пространства $X$ и замкнутого подпространства $X_{0} \subset X^{*}$ такого, что $X_{0}$ замкнуто относительно нормы, но не замкнуто в *-слабой топологии.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что из сепарабельности $X^{*}$ относительно нормы следует $*$-слабая сепарабельность. Привести контрпример к обратному утверждению.

Пусть $X$ — сепарабельное нормированное пространство. Доказать, что *-слабая топология в единичном шаре пространства $X^{*}$ метризуема.

Пусть $X$ — банахово пространство. Доказать, что пространство $X^{*}$ метризуемо в $*$-слабой топологии тогда и только тогда, когда $\operatorname {dim} X < \infty$.

Доказать теорему 14.5 Банаха-Алаоглу для сепарабельного пространства $X$.

Теорема 14.5 (С. Банах, Л. Алаоглу): пусть $X$ — линейное нормированное пространство. Тогда замкнутый единичный шар пространства $X^{*}$ компактен в $*$-слабой топологии.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Обозначим $Y = \pi (X)$, где $\pi : X \rightarrow X^{* *}$ — каноническое вложение. Доказать, что отображение $\pi$ является изоморфизмом (т.е. непрерывно, биективно и имеет обратное отображение, которое также непрерывно) топологических пространств $(X, w)$ и $(Y, * w)$, где $X$ — пространство со слабой топологией, $Y$ — пространство с топологией, индуцированной из $\left(X^{* *}, * w\right)$, а $* w$ — *-слабая топология. Доказать, что замыкание подпространства $Y$ в этой топологии есть всё пространство $X^{* *}$.

Доказать теорему 14.4 в случае, когда $X^{*}$ сепарабельно.

Доказать, что в рефлексивном бесконечномерном банаховом пространстве слабая сходимость не совпадает со сходимостью по норме.

Доказать, что замкнутое подпространство рефлексивного нормированного пространства рефлексивно.

Доказать, что любое замкнутое подпространство рефлексивного нормированного пространства является подпространством существования (см. определение 2.17).

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A: X \rightarrow Y$ — линейный оператор, непрерывный относительно слабых топологий. Доказать, что $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ (сравните с задачей 7.77).

Доказать, что каждое из пространств $c, c_{0}, C[0,1], L_{1}[0,1]$ не является изометрически изоморфным никакому пространству, сопряженному к нормированному.