Основные понятия и свойства. Примеры евклидовых и гильбертовых пространств

Доказать неравенство Коши-Буняковского. Доказать, что равенство $\left|(x, y)\right| = \left\| x\right\| \cdot \left\| y\right\|$ выполнено тогда и только тогда, когда векторы $x$ и $y$ линейно зависимы.

Доказать, что функция, определяемая равенством (3.1), удовлетворяет всем аксиомам нормы.

Пусть $E$ — евклидово пространство. Доказать непрерывность скалярного произведения по каждому аргументу и по совокупности аргументов.

Доказать теорему Пифагора в евклидовом пространстве $E$ : $x \perp y$ тогда и только тогда, когда $\left\| x+y\right\|^{2} = \left\| x\right\|^{2}+\left\| y\right\|^{2}$. В вещественном евклидовом пространстве доказать теорему косинусов: для любых $x, y \in E$ выполнено

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ и $\left\{ y_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательности векторов евклидова пространства, причём $\left\| x_{n}\right\| \leqslant 1,\left\| y_{n}\right\| \leqslant 1$ для всех $n \in \mathbb {N}$. Доказать, что если $\left(x_{n}, y_{n}\right) \rightarrow 1$, то $\left\| x_{n}-y_{n}\right\| \rightarrow 0$.

Пусть $E$ — евклидово пространство. Доказать поляризационное тождество: для любых векторов $x$ и $y$ из $E$ выполнено равенство $(x, y) = \frac{1}{4} \sum_{k = 0}^{3} i^{k}\left\| x+i^{k} y\right\|^{2}$ в случае комплексного пространства $E$ или равенство $(x, y) = \frac{1}{4}\left\| x+y\right\|^{2}-\frac{1}{4}\left\| x-y\right\|^{2}$ в случае действительного пространства $E$.

Пусть $\left(H_{1},(\cdot , \cdot )_{H_{1}}\right)$ и $(H_{2},(\cdot , \cdot )_{H_{2}})$ — гильбертовы пространства. Обозначим $\left\| \cdot \right\|_{H_{1}}$ и $\left\| \cdot \right\|_{H_{2}}$ — нормы, порождённые скалярными произведениями. Доказать, что гильбертовы пространства $\left(H_{1},(\cdot , \cdot )_{H_{1}}\right)$ и $\left(H_{2},(\cdot , \cdot )_{H_{2}}\right)$ унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда банаховы пространства $(H_{1},\left\| \cdot \right\|_{H_{1}})$ и $(H_{2},\left\| \cdot \right\|_{H_{2}})$ изометрически изоморфны (см. определение 2.2).

Доказать теорему 3.1.

Теорема 3.1 (П. Йордан, Дж. фон Нейман, 1935): нормированное пространство $X$ является евклидовым тогда и только тогда, когда для любых двух векторов $x, y \in X$ выполнено равенство параллелограмма $\left\| x-y\right\|^{2}+\left\| x+y\right\|^{2} = 2\left\| x\right\|^{2}+2\left\| y\right\|^{2}$.

Доказать, что если в нормированном пространстве $X$ для произвольных двух векторов $x, y$ выполнено «неравенство параллелограмма» $\left\| x-y\right\|^{2}+\left\| x+y\right\|^{2} \leqslant 2\left\| x\right\|^{2}+2\left\| y\right\|^{2}$, то $X$ евклидово.

Доказать, что следующие пространства не гильбертовы:

Доказать, что в любом банаховом пространстве $X$ для любых векторов $x, y \in X$, не равных нулю одновременно, выполнено $\frac{1}{2} \leqslant \frac{\left\| x+y\right\|^{2}+\left\| x-y\right\|^{2}}{2\left\| x\right\|^{2}+2\left\| y\right\|^{2}} \leqslant 2$. Показать, что в обоих пространствах $l_{\infty }(2)$ и $C[0,1]$ достигаются оба крайние значения. ¹

Доказать, что пространство $L_{2}(M, \Sigma , \mu )$ (см. список пространств) гильбертово.

Пусть $\Omega = \left\{ r_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательность положительных чисел. Рассмотрим множество последовательностей $(x_{1}, x_{2}, \ldots )$, где $x_{n} \in \mathbb {C}$, для которых сходится ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left(r_{n}\left|x_{n}\right|\right)^{2}$. Докажите, что это линейное пространство. Снабдим это множество скалярным произведением (проверьте аксиомы скалярного произведения)

и обозначим полученное пространство $l_{2, \Omega }$. Доказать, что это пространство есть $L_{2}(M, \Sigma , \mu )$, где $M = \mathbb {N}, \Sigma = 2^{\mathbb {N}}$, а $\mu (A) = \sum_{n \in A} r_{n}$. Отсюда следует, что $l_{2, \Omega }$ есть гильбертово пространство. ¹

Доказать, что пространства Соболева $W_{2}^{n}[0,1], n \in \mathbb {N}$, гильбертовы.

Доказать, что пространство Бергмана $\mathcal{A} \mathcal{L}_{2}(\left|z\right| < 1)$ является гильбертовым пространством.

Какие из следующих пространств сепарабельны:

Рассмотрим линейное пространство $H$ произвольных функций вещественного переменного, отличных от нуля не более чем в счётном числе точек (для каждой функции набор точек свой). Введём скалярное произведение в этом пространстве по правилу $(x, y) = \sum_{t: x(t) \cdot y(t) \neq 0} x(t) \overline{y(t)}$. Доказать, что $H$ — гильбертово несепарабельное пространство.

Доказать, что всякое гильбертово пространство строго выпукло, или, что то же самое, строго нормировано (см. определение 2.4).

Доказать, что всякое гильбертово пространство равномерно выпукло (см. определение 2.11).

Доказать, что в комплексном гильбертовом пространстве $H$ для любых векторов $x$ и $y$ выполнены равенства

(сравните с задачей 3.6).