Линейные операторы

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, $T \in \mathcal{L}(X, Y)$. Доказать что следующие условия эквивалентны:

1. $T$ непрерывен в каждой точке пространства $X$;

2. $T$ непрерывен в нуле;

3. $T$ ограничен;

4. $T$ равномерно непрерывен на $X$ (см. определение 1.22).

Пусть $A: C[0,1] \rightarrow C[0,1]$ — положительный линейный оператор, т.е. $(A x)(t) \geqslant 0$ для всякой неотрицательной функции $x \in C[0,1]$ и всякого $t \in [0,1]$. Доказать, что $A$ непрерывен и $\left\| A\right\| = \left\| A\left(x_{0}(t) \equiv 1\right)\right\|$. (Ср. с задачей 5.54.)

Доказать, что в гильбертовом пространстве $H$ норму произвольного ограниченного оператора $T \in \mathcal{B}(H)$ можно найти по формуле $\left\| T\right\| = \sup_{\left\| x\right\| = \left\| y\right\| = 1}\left|(T x, y)\right|$.

Пусть $X$ и $Y$ — линейные пространства, $X_{1} = \left(X,\left\| \cdot \right\|_{X_{1}}\right)$, $X_{2} = \left(X,\left\| \cdot \right\|_{X_{2}}\right), Y_{1} = \left(Y,\left\| \cdot \right\|_{Y_{1}}\right)$, а $Y_{2} = \left(Y,\left\| \cdot \right\|_{Y_{2}}\right)$, причём $\left\| \cdot \right\|_{X_{1}} \sim \left\| \cdot \right\|_{X_{2}}$, а $\left\| \cdot \right\|_{Y_{1}} \sim \left\| \cdot \right\|_{Y_{2}}$. Доказать, что

Что можно утверждать, если $\left\| \cdot \right\|_{X_{1}} \prec \left\| \cdot \right\|_{X_{2}}$, а $\left\| \cdot \right\|_{Y_{1}} \prec \left\| \cdot \right\|_{Y_{2}}$? $\downarrow$

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $X_{0}$ — всюду плотное в $X$ подпространство и $A \in \mathcal{B}\left(X_{0}, Y\right)$. Доказать, что существует единственный линейный ограниченный оператор $\tilde{A} \in B(X, Y)$, совпадающий с оператором $A$ на $X_{0}$. Доказать, что $\left\| \tilde{A}\right\|_{\mathcal{B}(X, Y)} = \left\| A\right\|_{\mathcal{B}\left(X_{0}, Y\right)}$.

Доказать ограниченность и найти норму следующих операторов вложения:

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать, что $\operatorname {Ker} A$ — замкнутое подпространство пространства $X$. Привести пример, показывающий, что $\operatorname {Im} A$ не обязан быть замкнутым подпространством в $Y$.

Доказать, что линейный оператор $P$ в нормированном пространстве $X$ является оператором проектирования тогда и только тогда, когда $P^{2} = P$.

Пусть $X$ — нормированное пространство, $X_{0}$ и $X_{1}$ — линейные подпространства в нём, причём $X$ является линейной прямой суммой $X_{0}$ и $X_{1}$. Пусть $P$ — оператор проектирования на $X_{0}$ вдоль $X_{1}$. Доказать, что оператор $P$ ограничен тогда и только тогда, когда прямая сумма $X_{0}$ и $X_{1}$ является топологической прямой суммой (см. определение 2.21). Доказать, что если хотя бы одно из подпространств $X_{0}$ или $X_{1}$ конечномерно, то $P$ ограничен.

В пространстве $C[-1,1]$ рассмотрим оператор

Доказать, что этот оператор — ограниченный проектор. Найти его образ, ядро и норму.

Пусть линейное подпространство $X_{0}$ в нормированном пространстве $X$ дополняемо. Доказать, что тогда само подпространство $X_{0}$ и дополняющее его подпространство $X_{1}$ замкнуты.

Существует ли в пространстве $C[0,1]$ ограниченный оператор проектирования

Пусть $X_{0}$ — конечномерное подпространство в нормированном пространстве $X$. Доказать, что $X_{0}$ дополняемо.

Пусть $X_{0}$ — замкнутое подпространство конечной коразмерности в нормированном пространстве $X$. Доказать, что $X_{0}$ дополняемо.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства. Доказать, что оператор $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ является оператором конечного ранга тогда и только тогда, когда он допускает следующее представление: $A x = \sum_{k = 1}^{n} f_{k}(x) y_{k}$, где $f_{k} \in X^{*}$, а $y_{k} \in Y$. Доказать, что если $X$ и $Y$ гильбертовы пространства, то оператор $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ является оператором конечного ранга тогда и только тогда, когда он допускает представление $A x = \sum_{k = 1}^{n} s_{k}\left(x, \psi_{k}\right) \varphi_{k}$, где $\left\{ \psi_{k}\right\}_{1}^{n}$ — ортонормированная система в $X,\left\{ \varphi_{k}\right\}_{1}^{n}$ — ортонормированная система в $Y$, а $s_{k} \in \mathbb {C}$ (ср. с задачей 12.79).

Найти норму, образ и ядро оператора $A \in \mathcal{B}(X, Y), A x = f(x) y$, где $f \in X^{*}$ — фиксированный ненулевой функционал, а $y \in Y$ — фиксированный ненулевой вектор.

Доказать, что следующие операторы являются операторами конечного ранга:

Найти точное значение нормы оператора $A$ из примера 6.2.

Доказать, что оператор $A\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) = \left(\lambda_{1} x_{1}, \lambda_{2} x_{2}, \ldots \right)$ ограничен в пространстве $V$ тогда и только тогда, когда $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{1}^{\infty } \in l_{\infty }$. Найти его норму и ядро в каждом из пространств в зависимости от последовательности $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{1}^{\infty }$.

Найти норму оператора

Доказать, что оператор из задачи 6.19 сюръективен в каждом из пространств а)-в) тогда и только тогда, когда $\inf_{n \geqslant 1}\left|\lambda_{n}\right| > 0$. В случаях

Доказать, что оператор из задачи 6.19 является оператором проектирования в каждом из пространств а)-в) тогда и только тогда, когда $\lambda_{n} \in \left\{ 0,1\right\}$ для любого $n \in \mathbb {N}$.

Доказать, что операторы правого и левого сдвига

ограничены в пространствах $l_{p}, p \in [1, \infty ]$, с и $c_{0}$. Найти норму, образ и ядро этих операторов в каждом из пространств.

Доказать, что оператор умножения на непрерывную функцию $a(t)$ ограничен в пространстве

Доказать, что оператор умножения на измеримую функцию $a(t)$ ограничен в пространствах $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty ]$, тогда и только тогда, когда $a \in L_{\infty }[0,1]$. Найти его норму и ядро в каждом из пространств.

Пусть $A$ — оператор умножения на непрерывную функцию $a(t)$, действующий в пространстве $C[0,1]$. Доказать, что если функция $a$ не обращается в ноль на отрезке $[0,1]$, то оператор $A$ сюръективен, а если $a$ имеет нули, то оператор $A$ не сюръективен и, более того, замыкание его образа не совпадает с пространством $C[0,1]$.

Пусть $A$ — оператор умножения на функцию $a \in L_{\infty }[0,1]$, действующий в пространстве $L_{p}[0,1]$, где $p \in [1, \infty )$. Доказать, что если $\underset {t \in [0,1]}{\operatorname {ess} \inf }\left|a(t)\right| > 0$, то оператор $A$ сюръективен. ¹ Доказать, что если $\underset {t \in [0,1]}{\operatorname {ess} \inf }\left|a(t)\right| = 0$, но $\mu (\left\{ t \in [0,1]: a(t) = 0\right\} ) = 0$, то оператор $A$ не сюръективен, но его образ всюду плотен в $L_{p}[0,1]$. Доказать, что если $\mu (\left\{ t \in [0,1]: a(t) = 0\right\} ) > 0$, то $\overline{\operatorname {Im} A} \neq L_{p}[0,1]$.

Пусть оператор умножения на независимую переменную $(A x)(t) = t x(t)$ действует в пространстве

Доказать, что оператор интегрирования $(A x)(t) = \int_{0}^{t} x(s) d s$ ограничен

Доказать, что оператор дифференцирования $A x = x^{\prime }$ ограничен как оператор

Доказать, что не существует нормированного пространства, содержащего целые функции¹, на котором оператор дифференцирования непрерывен.

Доказать, что оператор $\left(A_{K} x\right)(t) = \int_{a}^{b} K(t, s) x(s) d s$, $K(t, s) \in C\left([a, b]^{2}\right)$, ограничен

Рассмотрим интегральный оператор Харди

При каких вещественных $r$ оператор Харди (6.4) ограничен в пространстве $L_{2}[0,1]$?

При каких вещественных $r$ оператор Римана-Лиувилля (6.3) ограничен в пространстве $L_{2}[0,1]$?

Пусть функция $K(t, s)$, определенная при $t, s \in [0,+\infty )$, неотрицательна и однородна со степенью однородности -1 (т.е. $K(\lambda t, \lambda s) = \lambda^{-1} K(t, s)$ для любого $\lambda > 0$). Пусть $p > 1,1 / p+1 / q = 1$ и

Доказать, что интегральный оператор $A: x(t) \mapsto \int_{0}^{\infty } K(t, s) x(s) d s$ ограничен в пространстве $L_{p}[0, \infty )$ и $\left\| A\right\| \leqslant k$.

Доказать, что оператор $(A x)(t) = \int_{0}^{\infty } x(s) e^{-t s} d s$ ограничен в пространстве $L_{2}[0, \infty )$, и оценить его норму.

Пусть $a \in C[-1,1]$. Доказать, что оператор свёртки $A: x \mapsto \int_{0}^{1} x(s) a(t-s) d s$ ограничен в пространстве $C[0,1]$, и найти его норму.

Доказать, что оператор сдвига $(A x)(t) = x(t+a)$ ограничен как оператор в пространстве

Найти норму, образ и ядро оператора следа:

Найти норму и ядро оператора $A: C[0,1] \rightarrow C[0,1],(A x)(t) = (x \circ \varphi )(t) = x(\varphi (t))$, где $\varphi$ — фиксированная непрерывная функция, отображающая отрезок $[0,1]$ в себя. Доказать, что оператор $A$ сюръективен тогда и только тогда, когда отображение $\varphi$ инъективно. $\downarrow$

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $X_{0}$ — его замкнутое подпространство. Доказать эквивалентность следующих условий:

1. подпространство $X_{0}$ дополняемо;

2. тождественный оператор на $X_{0}$ допускает продолжение до ограниченного оператора из $X$ в $X_{0}$;

3. любой ограниченный оператор из $X_{0}$ в $Y$, где $Y$ — произвольное нормированное пространство, допускает продолжение до некоторого ограниченного оператора из $X$ в $Y$.

Доказать, что банахово пространство $X$ обладает следующим свойством: для всяких $Z \subset Y$ и для всякого линейного ограниченного оператора $A: Z \rightarrow X$ продолжение $\tilde{A}: Y \rightarrow X$ с $\left\| \tilde{A}\right\| = \left\| A\right\|$ существует тогда и только тогда, когда $X$ $1$-дополняемо в любом содержащем его банаховом пространстве $X_{1}$ (т. е. существует линейный проектор из $X_{1}$ в $X$ единичной нормы).

Пусть $A \in \mathcal{B}\left(X_{0}, Y\right)$ — конечномерный оператор, где $X_{0}$ и $Y$ — нормированные пространства, $X_{0}$ — линейное подпространство нормированного пространства $X$. Доказать, что $A$ допускает продолжение до ограниченного оператора $\tilde{A} \in \mathcal{B}(X, Y)$, причём $\tilde{A}$ можно выбрать так, что $\operatorname {Im}(\tilde{A}) = \operatorname {Im}(A)$.

Пусть оператор $A$ определён на подпространстве $c_{0}$ пространства $c$ как тождественный оператор. Доказать, что этот оператор нельзя продолжить до ограниченного оператора $\tilde{A}$ из $c$ в $c_{0}$ без увеличения нормы. Предъявить продолжение $A$ до ограниченного оператора $\tilde{A}$ из с в $c_{0}$ с увеличением нормы.

(Р. Филлипс, 1940). Доказать, что замкнутое подпространство $c_{0}$ банахова пространства $l_{\infty }$ не дополняемо.

Пусть $A \in \mathcal{B}(X, Y)$, где $X$ — рефлексивное банахово пространство, $Y$ — произвольное банахово пространство, a rank $A < \infty$. Доказать, что $A$ достигает своей нормы на единичном шаре, т. е. найдётся такой вектор $x \in X$, что $\left\| x\right\|_{X} = 1$ и $\left\| A x\right\|_{Y} = \left\| A\right\|$.

Пусть $X$ — конечномерное нормированное пространство, а $Y$ — произвольное нормированное пространство. Доказать, что $\mathcal{L}(X, Y) = \mathcal{B}(X, Y)$ и каждый оператор достигает своей нормы на единичном шаре.

Привести пример ограниченного оператора в рефлексивном банаховом пространстве, не достигающего своей нормы на единичном шаре.

Привести пример неограниченного оператора $A \in \mathcal{L}(X)$ в банаховом пространстве $X$, который определён всюду на $X$ и имеет замкнутое ядро.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{L}(X, Y), \operatorname {Ker} A$ замкнуто в $X$, а $\operatorname {rank} A < \infty$. Доказать, что оператор $A$ ограничен.

Привести пример ненулевого оператора в бесконечномерном банаховом пространстве, квадрат которого равен нулю.

Привести пример такого оператора $A \in \mathcal{B}(X)$ в бесконечномерном банаховом пространстве $X$, что $\operatorname {Ker} A \subsetneq \operatorname {Im} A$.

Пусть $X$ — банахово пространство и оператор $A \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что:

Для произвольного $n \in \mathbb {N}$ привести пример операторов $A$ и $B$ в бесконечномерном банаховом пространстве $X$ со свойствами

Пусть $X$ — банахово пространство и оператор $A \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что если $A$ имеет конечный подъем $n$ и конечный спуск $m$, то $n = m$ и $X = \operatorname {Ker}\left(A^{m}\right) \oplus \overline{\operatorname {Im}\left(A^{m}\right)}$.

Доказать, что если для $A, B \in \mathcal{L}(X)$ выполнено коммутационное соотношение $A B-B A = I$, то $A B^{n}-B^{n} A = n B^{n-1}$. Доказать, что либо $A$, либо $B$ неограничен. Вывести отсюда, что матричное уравнение $A B-B A = I$, где $A$ и $B$ — неизвестные матрицы размера $n \times n$, не имеет решений.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. При каких условиях на оператор $A$ выражения

Пусть $X$ — банахово пространство, $A$ — инъективный ограниченный оператор в $X$. Для норм из предыдущей задачи доказать, что $\left\| \cdot \right\|_{1} \prec \left\| \cdot \right\|_{X}$, а $\left\| \cdot \right\|_{2} \sim \left\| \cdot \right\|_{X}$. Доказать, что $\left\| \cdot \right\|_{1} \sim \left\| \cdot \right\|_{X}$ тогда и только тогда, когда $\inf_{\left\| x\right\| = 1}\left\| A x\right\| \geqslant r > 0$.

(С. Мазур, С. Улам, 1932). Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, отображение $J$ — изометрия, т. е. для любых $x, y \in X$ выполняется $\left\| J(x)-J(y)\right\|_{Y} = \left\| x-y\right\|_{X}$ и $J(0) = 0$. Доказать, что $J$ — линейный изометрический изоморфизм нормированных пространств $X$ и $Y$.

Пусть $J$ — изометрия действительного пространства $c_{0}$ или $l_{p}, 1 \leqslant p < \infty , p \neq 2$, и $J(0) = 0$. Доказать, что найдутся такой набор знаков $\varepsilon_{n} \in \left\{ \pm 1\right\}$ и такая перестановка $\sigma$ натурального ряда, что $J\left(x_{1}, \ldots , x_{n}, \ldots \right) = \left(\varepsilon_{1} x_{\sigma (1)}, \ldots , \varepsilon_{n} x_{\sigma (n)}, \ldots \right)$.

Пусть $P \in \mathcal{B}(H)$ — проектор гильбертова пространства $H$ на некоторое его подпространство. Доказать, что $P$ является ортопроектором тогда и только тогда, когда для любых $x, y \in H$ справедливо равенство $(P x, y) = (x, P y).{ }$¹

Пусть $P$ — ортопроектор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что он ограничен, и найти $\left\| P\right\|$.

Пусть $P_{1}$ и $P_{2}$ — ортопроекторы в гильбертовом пространстве $H$. Обозначим подпространства $H_{1} = \operatorname {Im} P_{1}$ и $H_{2} = \operatorname {Im} P_{2}$. Доказать, что если $H_{1} \subset H_{2}$ (или, наоборот, $H_{2} \subset H_{1}$) и $\left\| P_{1}-P_{2}\right\| < 1$, то $P_{1} = P_{2}$. Привести пример таких двух ортопроекторов $P_{1} \neq P_{2}$, что $\left\| P_{1}-P_{2}\right\| < 1$.

В обозначениях предыдущей задачи доказать, что если $\left\| P_{2}-P_{1}\right\| < 1$, то $\operatorname {dim} H_{1} = \operatorname {dim} H_{2}$. Привести пример двух таких ортопроекторов $P_{1}$ и $P_{2}$, что $\left\| P_{2}-P_{1}\right\| = 1$ и $\operatorname {dim} H_{1} \neq \operatorname {dim} H_{2}$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $P$ — ортопроектор на собственное подпространство $H_{0} \subset H$. Что можно утверждать про $\operatorname {Im} A$ и Ker $A$ оператора $A \in \mathcal{B}(H)$, если

Доказать, что если в условиях предыдущей задачи выполнено равенство $A P = P A$, то $A\left(H_{0}\right) \subset H_{0}$. Доказать, что обратное неверно.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, а $B: H \times H \rightarrow \mathbb {C}$ линейная по первому аргументу, сопряжённо-линейная по второму аргументу и непрерывная по каждому аргументу форма. Доказать, что найдётся такой оператор $A \in \mathcal{B}(H)$, что $B(x, y) = (A x, y)$ для любых $x, y \in H$.

Для любого $M > 0$ привести пример такого оператора $A$ в гильбертовом пространстве $H$, что для некоторого ортонормированного базиса $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ все нормы $\left\| A e_{n}\right\|$ ограничены единицей, но $\left\| A\right\| > M$.

Пусть $\sum_{i = 1}^{\infty } \sum_{j = 1}^{\infty }\left|a_{i j}\right|^{2} < \infty$, а $\left\{ e_{i}\right\}_{1}^{\infty }$ — произвольный ортонормированный базис в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что существует такой оператор $A \in \mathcal{B}(H)$, что $\left(A e_{i}, e_{j}\right) = a_{i j}$. Привести пример линейного ограниченного оператора в гильбертовом пространстве, матрица которого (в любом ортонормированном базисе) не удовлетворяет указанному неравенству.

Пусть оператор $A$ действует в пространстве $l_{2}$, и в некотором ортонормированном базисе его матрица имеет вид $\left\{ a_{i j}\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$, $a_{i j} \geqslant 0$ для всех $i, j$. Доказать, что если для этой матрицы найдутся такие числа $p_{j} > 0, j = 1,2, \ldots$, и $\alpha , \beta > 0$, что

(неравенства Шура), то оператор ограничен, причём $\left\| A\right\|^{2} \leqslant \alpha \beta$.

Доказать, что оператор $A$ с матрицей $\left\{ a_{i j}\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$, где $a_{i j} = \frac{1}{i+j}$ (оператор Гильберта), ограничен в $l_{2}$, причём $\left\| A\right\| \leqslant \pi$.

Пусть матрица $\left\{ a_{i j} = K(i, j)\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$ задана функцией $K(x, y)$, удовлетворяющей следующим условиям: