Общие свойства компактных операторов

Доказать, что оператор $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ является компактным тогда и только тогда, когда образ единичного шара в $X$ является предкомпактным множеством в $Y$.

Доказать, что конечная линейная комбинация компактных операторов есть компактный оператор.

Доказать, что композиция компактного и ограниченного операторов (в любом порядке) есть компактный оператор.

Доказать, что если $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — компактные операторы и $A_{n} \rightrightarrows \rightrightarrows A$, то $A$ — тоже компактный оператор.

(Дж. Калкин, 1941). Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. Доказать, что единственным нетривиальным собственным замкнутым двусторонним идеалом в $\mathcal{B}(H)$ является $\mathcal{K}(H)$.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{K}(X, Y)$. Доказать, что $A$ может иметь правый обратный оператор только в случае $\operatorname {dim} Y < \infty$. Доказать, что $A$ может иметь левый обратный оператор только в случае $\operatorname {dim} X < \infty$.

Привести пример последовательности таких компактных операторов $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ в банаховом пространстве $X$, что $A_{n} \xrightarrow {s} A \in \mathcal{B}(X)$, но $A$ — не компактный оператор.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать, что если $\operatorname {dim}(\operatorname {Im} A) < \infty$, то $A$ компактен.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{K}(X, Y)$, а $Y_{0} \subset \operatorname {Im} A$ замкнутое подпространство. Доказать, что $\operatorname {dim} Y_{0} < \infty$.

Привести пример таких банаховых пространств $X$ и $Y$ и такого некомпактного оператора $A \in \mathcal{B}(X, Y)$, что $\operatorname {Im} A$ не содержит бесконечномерных замкнутых подпространств.

Пусть $A \in \mathcal{B}(X)$, где $X$ — банахово пространство, и $\operatorname {Im} A = X$. Может ли оператор $A$ быть компактным?

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{K}(X, Y), B \in \mathcal{B}(X, Y)$ и $\operatorname {Im} B \subset \operatorname {Im} A$. Доказать, что $B \in \mathcal{K}(X, Y)$.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, оператор $A \in \mathcal{K}(X, Y)$. Доказать, что пространство $(\operatorname {Im} A,\left\| \cdot \right\|_{Y})$ сепарабельно.

Пусть $X$ — банахово пространство. Доказать, что тождественный оператор в нём компактен тогда и только тогда, когда $X$ конечномерно.

Доказать, что оператор проектирования в банаховом пространстве компактен тогда и только тогда, когда он конечномерен.

Пусть $X$ — рефлексивное банахово пространство, $X^{*}$ сепарабельно и $A \in \mathcal{K}(X)$. Доказать, что образ замкнутого единичного шара $A(\bar{B}(0,1))$ есть компактное множество. ¹

Пусть $X$ — банахово пространство. Доказать, что если для всякого оператора $A \in \mathcal{K}(X)$ образ замкнутого единичного шара $A(\bar{B}(0,1))$ есть компактное множество, то пространство $X$ рефлексивно.

Верно ли, что если в бесконечномерном нормированном пространстве $A^{2} = 0$, то оператор $A$ компактен?

Пусть $X$ — бесконечномерное банахово пространство, оператор $A \in \mathcal{K}(X)$, а многочлен $P(z) = a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\ldots +a_{0}$. Доказать, что если $a_{0} \neq 0$, то и $P(A) \neq 0$. Для произвольного многочлена $P(z)$ с коэффициентом $a_{0} = 0$ привести пример компактного оператора $A$, для которого $P(A) = 0$.

Доказать, что подобные операторы (см. определение 9.4) либо оба компактны, либо оба не компактны.

Доказать, что компактный оператор переводит всякую слабо сходящуюся последовательность в последовательность, сходящуюся по норме.

Доказать, что оператор в рефлексивном пространстве, переводящий всякую слабо сходящуюся последовательность в последовательность, сходящуюся по норме, является компактным. Привести пример оператора в нерефлексивном пространстве, переводящего всякую слабо сходящуюся последовательность в последовательность, сходящуюся по норме, и не являющегося компактным.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{K}(X, Y)$, последовательность $x_{n} \rightharpoonup x$ в $X$, последовательность $f_{n} \stackrel{*}{*} f$ в $Y^{*}$. Доказать, что $f_{n}\left(A x_{n}\right) \rightarrow f(A x)$.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, причём $Y$ сепарабельно. Пусть $A \in \mathcal{B}(X, Y)$, а оператор $A^{\prime }$ переводит всякую $*$-слабо сходящуюся в $Y^{*}$ последовательность в сходящуюся по норме последовательность в $X^{*}$. Доказать, что $A$ компактен.

Пусть банахово пространство $X$ рефлексивно, а $X^{*}$ сепарабельно. Доказать, что любой компактный оператор $A \in \mathcal{K}(X)$ достигает своей нормы на замкнутом единичном шаре ¹. Привести пример компактного оператора в нерефлексивном пространстве, не достигающего своей нормы на замкнутом единичном шаре.

Доказать, что $\operatorname {Sp}(X, Y)$ - (вообще говоря, незамкнутое) линейное подпространство в $\mathcal{K}(X, Y)$. Доказать, что $\operatorname {dim} \operatorname {Sp}(X, Y) = \infty$, если $\operatorname {dim} X = \infty$ или $\operatorname {dim} Y = \infty$.

На линейном пространстве $\operatorname {Sp}(X, Y)$ введем норму

где точная нижняя грань берётся по всем представлениям оператора $A$ в виде суммы абсолютно сходящегося ряда $A = \sum_{k = 1}^{\infty } A_{k}$ одномерных операторов. Доказать, что эта функция удовлетворяет аксиомам нормы. Доказать оценку $\left\| A\right\|_{\mathcal{B}(X, Y)} \leqslant \left\| A\right\|_{\mathrm{Sp}(X, Y)}$. Доказать, что пространство $\operatorname {Sp}(X, Y)$ банахово относительно введённой нормы.

Доказать, что любое банахово пространство, в котором есть счётный базис Шаудера, обладает свойством аппроксимации. Доказать, что любое (не обязательно сепарабельное) гильбертово пространство обладает свойством аппроксимации.

Пусть в банаховом пространстве $X$ существует базис Шаудера. Доказать, что замыкание подпространства конечномерных операторов в смысле сильной операторной сходимости в $\mathcal{B}(X)$ совпадает с $\mathcal{B}(X)$.