Базисы в гильбертовых пространствах

Доказать, что любая ортонормированная система векторов гильбертова пространства равномерно минимальна.

Доказать теорему 10.2.

Теорема 10.2. Пусть $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ — система векторов гильбертова пространства $H$. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Рисса;

2. существует новое скалярное произведение $\langle x, y\rangle$, эквивалентное стандартному (т. е. нормы $\sqrt{\langle x, x\rangle }$ и $\sqrt{(x, x)}$ эквивалентны) и такое, что система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ является ортонормированным базисом пространства $H$ относительно нового скалярного произведения;

3. система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ полна и обладает свойством Бесселя: существуют такие константы $\gamma_{1}, \gamma_{2} > 0$, что для любого $n \in \mathbb {N}$ и для любых комплексных чисел $\left\{ c_{k}\right\}_{1}^{n}$ выполнено

   $$\gamma _{1}\sum _{k = 1}^{n}\left|c_{k}\right|^{2} \leqslant \left\| \sum _{k = 1}^{n} c_{k} x_{k}\right\| ^{2} \leqslant \gamma _{2}\sum _{k = 1}^{n}\left|c_{k}\right|^{2};$$

4. система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ полна и минимальна и существуют такие константы $\gamma_{1}, \gamma_{2} > 0$, что для любого $x \in H$ выполнено

   $$\gamma _{1}\left\| x\right\| ^{2} \leqslant \sum _{k = 1}^{\infty }\left|(x, x_{k})\right|^{2} \leqslant \gamma _{2}\left\| x\right\| ^{2};$$

5. (Н. К. Бари, 1951) система $\left\{ x_{k}\right\}$ полна и минимальна в $H$ (тогда для неё существует единственная биортогональная система $\left\{ y_{k}\right\}$) и для любого $x \in H$ справедливы неравенства $\sum_{k = 1}^{\infty }\left|(x, y_{k})\right|^{2} < \infty$ и $\sum_{k = 1}^{\infty }\left|(x, x_{k})\right|^{2} < \infty$;

6. (Н. К. Бари, 1951) система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ полна и её матрица Грама $\left((x_{i}, x_{j})\right)_{i,j = 1}^{\infty }$ порождает в пространстве $l_{2}$ ограниченный и обратимый оператор;

7. система $\left\{ x_{k}\right\}$ является безусловным базисом Шаудера и почти нормирована, т. е. существуют такие константы $\gamma_{1}, \gamma_{2} > 0$, что справедливы неравенства $\gamma_{1} \leqslant \left\| x_{k}\right\| \leqslant \gamma_{2}, k = 1, 2, \ldots$

(В случае, когда константы $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ в пункте (3) этой теоремы равны 1, система превращается в ортонормированный базис; см. теорему 3.2.)

Пусть система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ образует базис Рисса в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что биортогональная ей система также является базисом Рисса.

Доказать, что система $\left\{ \sin^{2}(n t)\right\}_{1}^{\infty }$ не образует базис Рисса в пространстве $L_{2}[0, \pi / 2]$.

Доказать, что система $\left\{ \sin^{2}(n t)\right\}_{1}^{\infty } \cup \left\{ 1\right\}$ образует базис Рисса в пространстве $L_{2}[0, \pi / 2]$.

Доказать, что система $\left\{ \sin (2 n t), t \cos (2 n t)\right\}_{0}^{\infty }$ образует базис Рисса в пространстве $L_{2}[0, \pi ]$.

(М. И. Кадец, 1964). Пусть $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательность вещественных чисел со свойством $\left|\lambda_{n}-n\right| < 1 / 4$ для любого $n \in \mathbb {Z}$. Доказать, что система $\left\{ e^{i n t}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ является базисом Рисса в пространстве $L_{2}[0, \pi ]$.

(К. И. Бабенко, 1948). Доказать, что система $\left\{ \left|t\right|^{\alpha } e^{i \pi n t}\right\}_{-\infty }^{\infty }$ является базисом Шаудера, но не является базисом Рисса в пространстве $L_{2}[-1,1]$, если $\left|\alpha \right| < 1 / 2, \alpha \neq 0$.

Доказать, что система многочленов Чебышёва $T_{n}(t) = \cos (n \arccos t), n = 0,1, \ldots$, не образует базис Рисса в пространстве $L_{2}[-1,1]$.

Пусть $p(t) \geqslant 0$ — суммируемая на отрезке $[0,1]$ функция. В гильбертовом пространстве $L_{2}([0,1], p(t) d t)$ рассмотрим произвольный ортогональный базис $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$. Доказать, что эта система образует базис Рисса в пространстве $L_{2}[0,1]$ (с обычной мерой Лебега) тогда и только тогда, когда $\underset {t \in [0,1]}{\operatorname {ess} \sup } p(t) < \infty$ и $\underset {t \in [0,1]}{\operatorname {ess} \inf } p(t) > 0$.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — базис Рисса в пространстве $L_{2}\left(M_{1}, \mu_{1}\right)$, $\left\{ y_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — базис Рисса в пространстве $L_{2}\left(M_{2}, \mu_{2}\right)$. Доказать, что система $\left\{ x_{n} \cdot y_{m}\right\}_{m, n = 1}^{\infty }$ образует базис Рисса в $L_{2}\left(M_{1} \times M_{2}, \mu_{1} \times \mu_{2}\right)$ (ср. с задачей 3.66).

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — ортонормированный базис в гильбертовом пространстве $H$. Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — система векторов в $H$, для которой $\sum_{n = 1}^{\infty }\left\| x_{n}-e_{n}\right\|^{2} < 1$. Доказать, что система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Рисса.