Спектральная теорема в терминах оператора умножения

При каких условиях на комплексные числа $\left\{ \lambda_{k}\right\}_{k = 1}^{n}$ у диагонального оператора $A\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) = \left(\lambda_{1} x_{1}, \ldots , \lambda_{n} x_{n}\right)$ в $l_{2}(n)$ есть циклический вектор? Сформулировать условие существования циклического вектора в терминах характеристического многочлена произвольного оператора $A: \mathbb {C}^{n} \rightarrow \mathbb {C}^{n}$.

При каких условиях на ограниченную последовательность комплексных чисел $\left\{ \lambda_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ у диагонального оператора

в $l_{2}$ есть циклический вектор?

Доказать, что оператор $(A x)(t) = a(t) x(t)$ умножения на непрерывную строго монотонную функцию $a(t)$ имеет циклический вектор:

Доказать, что оператор $(A x)(t) = a(t) x(t)$ умножения на непрерывную немонотонную функцию $a(t)$, действующий в пространстве $C[0,1]$, не имеет циклического вектора.

Пусть $A$ — ограниченный самосопряжённый оператор с простым спектром в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что все его собственные значения (если они есть) имеют кратность 1.

Доказать, что компактный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве обладает циклическим вектором в точности тогда, когда все его собственные значения просты.

Пусть $A$ — оператор с циклическим вектором в бесконечномерном гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что операторы $I, A, A^{2}, \ldots$ линейно независимы.

Доказать, что у оператора $T_{l}$ левого сдвига в пространстве $l_{2}$ есть «суперциклический» вектор, т. е. такой вектор $x$, что множество $\left\{ \frac{T_{l}^{n} x}{\left\| T_{l}^{n} x\right\| }\right\}_{n = 0}^{\infty }$ плотно на единичной сфере. Существует ли обратимый оператор с суперциклическим вектором?

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что существует такое разложение в прямую сумму $H = \bigoplus_{n = 1}^{N} H_{n}$, где $N = 1,2, \ldots$ или $\infty$, что $A H_{n} \subset H_{n}$ и для любого $n = 1,2, \ldots , N$ существует вектор $x_{n} \in H_{n}$, который цикличен для сужения $A$ на $H_{n}$, т. е. $\overline{\operatorname {Lin}\left\{ A^{k} x_{n}\right\}_{k = 0}^{\infty }} = H_{n}$.

Найти в пространстве $L_{2}[-1,1]$ разложение единицы оператора умножения:

Для оператора умножения из предыдущей задачи:

Привести пример двух ограниченных самосопряжённых операторов $A$ и $B$ в пространстве $l_{2}$, у которых спектры совпадают, причём $\sigma_{\mathrm{p}}(A) = \sigma_{\mathrm{p}}(B)$ (и кратности соответствующих собственных значений совпадают), $\sigma_{\mathrm{c}}(A) = \sigma_{\mathrm{c}}(B)$, но сами операторы не являются унитарно эквивалентными.

Найти разложение единицы оператора умножения на $t^{3}$ в пространстве $L_{2}[0,1]$. Привести оператор к виду умножения на независимую переменную (найти изометрический изоморфизм и меру $\mu$).

Найти разложение единицы оператора умножения на $\sin t$ в пространстве $L_{2}[0, \pi / 2]$. Привести оператор к виду умножения на независимую переменную (найти изометрический изоморфизм и меру $\mu$).

Найти разложение единицы оператора умножения на $\sin t$ в пространстве $L_{2}(\mathbb {R})$.

Для оператора из задачи 13.77 найти унитарный изоморфизм

такой, что оператор $U A U^{-1}$, суженный на пространство $L_{2}\left([a, b], \mu_{i}\right)$, есть оператор умножения на независимую переменную. Найти $a, b$ и меры $\mu_{i}$.

Привести оператор

действующий в пространстве $L_{2}[0,1]$, к виду умножения на независимую переменную (найти изометрический изоморфизм и меру $\mu$).

Пусть $A$ — линейный самосопряжённый оператор в конечномерном пространстве. Найти унитарный оператор $U$, меру $\mu$ и функцию $a$ такие, что $U A U^{-1} = B$, где $B \in \mathcal{B}\left(L_{2}([0,1], \mu )\right),(B x)(t) = a(t) x(t)$.

В пространстве $l_{2}(\mathbb {Z})$ рассмотрим оператор $A = T_{r}+T_{l}$, где $T_{r}, T_{l}$ — операторы правого и левого сдвигов соответственно. Найти унитарный оператор $U$ и функцию $a$ такие, что $U A U^{-1} = B$, где $B \in \mathcal{B}\left(L_{2}[-\pi , \pi ]\right), B x(t) = a(t) x(t)$.

Доказать, что если оператор $A \in \mathcal{B}(H)$ в гильбертовом пространстве унитарно эквивалентен оператору $B \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0,1]\right)$ умножения на функцию $B x(t) = a(t) x(t)$, то $A$ — нормальный оператор.

Доказать, что любой нормальный оператор $A$ в гильбертовом пространстве $H$ унитарно эквивалентен оператору умножения на некоторую функцию $a$ в пространстве $L_{2}\left([0,1]^{2}, \mu \right)$ с некоторой мерой $\mu$.

Доказать, что операторы

действующие в пространстве $L_{2}[0,1]$ (здесь $L K(t)$ — функция Кантора, см. определение на с. 72), не являются унитарно эквивалентными.

Пусть $\mu$ и $v$ — две неотрицательные борелевские меры на отрезке $[0,1]$, а $T_{\mu }$ и $T_{v}$ — операторы умножения $x(t) \mapsto t x(t)$, действующие в пространствах $L_{2}([0,1], \mu )$ и $L_{2}([0,1], v)$ соответственно. Эти операторы унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда эквивалентны меры $\mu$ и $v$. ¹

Пользуясь теоремой 13.8, доказать теорему 13.9.

Выяснить, есть ли среди следующих операторов унитарно эквивалентные: $A_{1} \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0,1]\right),\left(A_{1} x\right)(t) = t x(t) ;$ $A_{2} \in \mathcal{B}\left(L_{2}[-1,1]\right),\left(A_{2} x\right)(t) = \left|t\right| x(t) ;$ $A_{3} \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0,1]\right),\left(A_{3} x\right)(t) = t^{2} x(t) ;$ $A_{4} \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0,1]\right),\left(A_{4} x\right)(t) = t^{3} x(t) ;$ $A_{5} \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0,1]\right),\left(A_{5} x\right)(t) = \sqrt{t} x(t) ;$ $A_{6} \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0, \pi / 2]\right),\left(A_{6} x\right)(t) = \sin t x(t) ;$ $A_{7} \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0, \pi ]\right),\left(A_{7} x\right)(t) = \sin t x(t) ;$ $A_{8} \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0,1]\right),\left(A_{8} x\right)(t) = (1-t) x(t) ;$ $A_{9} \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0,1]\right),\left(A_{9} x\right)(t) = L K(t) x(t)$.

Построить каноническую функциональную модель:

Построить каноническую функциональную модель для следующих операторов в пространстве $l_{2}$ :