Теорема о неподвижной точке

Пусть функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ дифференцируема на $\mathbb {R}$ и удовлетворяет условию $\sup_{t \in \mathbb {R}}\left|f^{\prime }(t)\right| \leqslant q < 1$. Доказать, что уравнение $f(t) = t$ имеет единственное решение на $\mathbb {R}$.

С помощью теоремы о сжимающем отображении вычислить предел последовательности непрерывных дробей: $2 ; 2+\frac{1}{2}$; $2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}} ; \ldots$

Пусть функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ дифференцируема на $\mathbb {R}$ и удовлетворяет условию $\inf_{t \in \mathbb {R}}\left|f^{\prime }(t)\right| \geqslant q > 1$. Доказать, что уравнение $f(t) = t$ имеет единственное решение на $\mathbb {R}$.

Доказать, что уравнение $x(t) = t+\varepsilon x\left(t^{\alpha }\right)$, где $\left|\varepsilon \right| < 1, \alpha > 0$, имеет единственное решение в пространстве $C[0,1]$.

Доказать, что отображение $A: C[0,1] \rightarrow C[0,1], A x(t) = \lambda \int_{0}^{t} x(s) d s+1$, является сжимающим при $\left|\lambda \right| < 1$, и найти его неподвижную точку.

Пусть в полном метрическом пространстве $X$ отображение $f$ непрерывно и некоторая степень $f^{p} = \underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{p}$ отображения $f$ сжимает: $\rho \left(f^{p}(x), f^{p}(y)\right) \leqslant q \rho (x, y)$, где $q < 1, x, y \in X$. Доказать, что отображение $f$ имеет в $X$ единственную неподвижную точку: $f(x) = x$.

Доказать, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет неподвижную точку.

Пусть $\bar{B}^{\prime }(0,1)$ есть проколотый замкнутый единичный шар пространства $\mathbb {R}^{n}$ (т. е. шар с выкинутым центром). Привести пример непрерывного отображения этого множества в себя, не имеющего неподвижной точки.

Существует ли неполное метрическое пространство, в котором принцип сжимающих отображений справедлив?

Построить пример такого полного метрического пространства $X$ и отображения $f: X \rightarrow X$, что $\rho (f(x), f(y)) < \rho (x, y)$, но $f$ не имеет неподвижной точки. $\downarrow$