Гильбертовы пространства

Доказать неравенство Коши-Буняковского. Доказать, что равенство $\left|(x, y)\right| = \left\| x\right\| \cdot \left\| y\right\|$ выполнено тогда и только тогда, когда векторы $x$ и $y$ линейно зависимы.

Доказать, что функция, определяемая равенством (3.1), удовлетворяет всем аксиомам нормы.

Пусть $E$ — евклидово пространство. Доказать непрерывность скалярного произведения по каждому аргументу и по совокупности аргументов.

Доказать теорему Пифагора в евклидовом пространстве $E$ : $x \perp y$ тогда и только тогда, когда $\left\| x+y\right\|^{2} = \left\| x\right\|^{2}+\left\| y\right\|^{2}$. В вещественном евклидовом пространстве доказать теорему косинусов: для любых $x, y \in E$ выполнено

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ и $\left\{ y_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательности векторов евклидова пространства, причём $\left\| x_{n}\right\| \leqslant 1,\left\| y_{n}\right\| \leqslant 1$ для всех $n \in \mathbb {N}$. Доказать, что если $\left(x_{n}, y_{n}\right) \rightarrow 1$, то $\left\| x_{n}-y_{n}\right\| \rightarrow 0$.

Пусть $E$ — евклидово пространство. Доказать поляризационное тождество: для любых векторов $x$ и $y$ из $E$ выполнено равенство $(x, y) = \frac{1}{4} \sum_{k = 0}^{3} i^{k}\left\| x+i^{k} y\right\|^{2}$ в случае комплексного пространства $E$ или равенство $(x, y) = \frac{1}{4}\left\| x+y\right\|^{2}-\frac{1}{4}\left\| x-y\right\|^{2}$ в случае действительного пространства $E$.

Пусть $\left(H_{1},(\cdot , \cdot )_{H_{1}}\right)$ и $(H_{2},(\cdot , \cdot )_{H_{2}})$ — гильбертовы пространства. Обозначим $\left\| \cdot \right\|_{H_{1}}$ и $\left\| \cdot \right\|_{H_{2}}$ — нормы, порождённые скалярными произведениями. Доказать, что гильбертовы пространства $\left(H_{1},(\cdot , \cdot )_{H_{1}}\right)$ и $\left(H_{2},(\cdot , \cdot )_{H_{2}}\right)$ унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда банаховы пространства $(H_{1},\left\| \cdot \right\|_{H_{1}})$ и $(H_{2},\left\| \cdot \right\|_{H_{2}})$ изометрически изоморфны (см. определение 2.2).

Доказать теорему 3.1.

Теорема 3.1 (П. Йордан, Дж. фон Нейман, 1935): нормированное пространство $X$ является евклидовым тогда и только тогда, когда для любых двух векторов $x, y \in X$ выполнено равенство параллелограмма $\left\| x-y\right\|^{2}+\left\| x+y\right\|^{2} = 2\left\| x\right\|^{2}+2\left\| y\right\|^{2}$.

Доказать, что если в нормированном пространстве $X$ для произвольных двух векторов $x, y$ выполнено «неравенство параллелограмма» $\left\| x-y\right\|^{2}+\left\| x+y\right\|^{2} \leqslant 2\left\| x\right\|^{2}+2\left\| y\right\|^{2}$, то $X$ евклидово.

Доказать, что следующие пространства не гильбертовы:

Доказать, что в любом банаховом пространстве $X$ для любых векторов $x, y \in X$, не равных нулю одновременно, выполнено $\frac{1}{2} \leqslant \frac{\left\| x+y\right\|^{2}+\left\| x-y\right\|^{2}}{2\left\| x\right\|^{2}+2\left\| y\right\|^{2}} \leqslant 2$. Показать, что в обоих пространствах $l_{\infty }(2)$ и $C[0,1]$ достигаются оба крайние значения. ¹

Доказать, что пространство $L_{2}(M, \Sigma , \mu )$ (см. список пространств) гильбертово.

Пусть $\Omega = \left\{ r_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательность положительных чисел. Рассмотрим множество последовательностей $(x_{1}, x_{2}, \ldots )$, где $x_{n} \in \mathbb {C}$, для которых сходится ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left(r_{n}\left|x_{n}\right|\right)^{2}$. Докажите, что это линейное пространство. Снабдим это множество скалярным произведением (проверьте аксиомы скалярного произведения)

и обозначим полученное пространство $l_{2, \Omega }$. Доказать, что это пространство есть $L_{2}(M, \Sigma , \mu )$, где $M = \mathbb {N}, \Sigma = 2^{\mathbb {N}}$, а $\mu (A) = \sum_{n \in A} r_{n}$. Отсюда следует, что $l_{2, \Omega }$ есть гильбертово пространство. ¹

Доказать, что пространства Соболева $W_{2}^{n}[0,1], n \in \mathbb {N}$, гильбертовы.

Доказать, что пространство Бергмана $\mathcal{A} \mathcal{L}_{2}(\left|z\right| < 1)$ является гильбертовым пространством.

Какие из следующих пространств сепарабельны:

Рассмотрим линейное пространство $H$ произвольных функций вещественного переменного, отличных от нуля не более чем в счётном числе точек (для каждой функции набор точек свой). Введём скалярное произведение в этом пространстве по правилу $(x, y) = \sum_{t: x(t) \cdot y(t) \neq 0} x(t) \overline{y(t)}$. Доказать, что $H$ — гильбертово несепарабельное пространство.

Доказать, что всякое гильбертово пространство строго выпукло, или, что то же самое, строго нормировано (см. определение 2.4).

Доказать, что всякое гильбертово пространство равномерно выпукло (см. определение 2.11).

Доказать, что в комплексном гильбертовом пространстве $H$ для любых векторов $x$ и $y$ выполнены равенства

(сравните с задачей 3.6).

Пусть $M$ — произвольное множество в гильбертовом пространстве. Докажите, что $M^{\perp }$ является замкнутым линейным подпространством.

Пусть $H_{0}$ — собственное замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$. Доказать, что вектор $x$ принадлежит $H_{0}^{\perp }$ тогда и только тогда, когда для всякого $y \in H_{0}$ имеет место неравенство $\left\| x-y\right\| \geqslant \left\| x\right\|$.

Пусть $H_{0}$ — собственное замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$, а $x \in H$. Доказать, что $y \in H_{0}$ является ортогональной проекцией вектора $x$ тогда и только тогда, когда $y$ есть элемент наилучшего приближения для вектора $x$ в подпространстве $H_{0}$.

Доказать, что в гильбертовом пространстве любое замкнутое подпространство является подпространством существования (см. определение 2.17).

Пусть $H = H_{0} \oplus_{\perp } H_{1}$, где $H_{0}$ и $H_{1}$ — замкнутые подпространства, $x \in H$. Обозначим через $y$ элемент наилучшего приближения для $x$ в подпространстве $H_{0}$, через $z$ — элемент наилучшего приближения для $x$ в подпространстве $H_{1}$. Доказать, что $x = y+z$ и, соответственно, $\operatorname {dist}\left(x, H_{0}\right) = \left\| z\right\|$, $\operatorname {dist}\left(x, H_{1}\right) = \left\| y\right\| , \operatorname {dist}^{2}\left(x, H_{0}\right) + \operatorname {dist}^{2}\left(x, H_{1}\right) = \left\| x\right\|^{2}$.

Пусть $H_{0}$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$. Доказать, что $H = H_{0} \oplus_{1} H_{0}^{\perp }$. Верно ли это в предгильбертовом пространстве $H$?

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $H_{0}$ — собственное замкнутое подпространство, $H / H_{0}$ — факторпространство. Доказать, что отображение $J: H_{0}^{\perp } \rightarrow H / H_{0}, J x = [x]$ является изометрическим изоморфизмом (здесь $[x]$ — факторкласс из $H / H_{0}$, содержащий вектор $x$).

Доказать, что линейное подпространство $M$ в гильбертовом пространстве $H$ всюду плотно в $H$ тогда и только тогда, когда $M^{\perp } = \left\{ 0\right\}$.

Доказать, что в гильбертовом пространстве для любого множества $M$ имеет место равенство $\left(M^{\perp }\right)^{\perp } = \overline{\operatorname {Lin}(M)}$ (замыкание линейной оболочки множества $M$).

Пусть $H$ — гильбертово пространство, а $M$ и $N$ — два его взаимно ортогональных линейных подпространства. Доказать, что их ортогональная прямая сумма является топологической прямой суммой. Доказать, что если они оба замкнуты, то $M \oplus_{\perp } N$ — замкнутое подпространство в $H$.

В гильбертовом пространстве $H$ привести примеры таких замкнутых подпространств $M$ и $N$, что $H = M \oplus N$, но эта топологическая прямая сумма не является ортогональной прямой суммой.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательность векторов из $H$, а $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательность комплексных чисел. Доказать, что множество $M = \left\{ x \in H:\left(x, x_{k}\right) = \lambda_{k}, k \in \mathbb {N}\right\}$ либо пусто, либо является замкнутым аффинным подпространством в $H$. ¹

Доказать, что любое замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве является чебышёвским. ¹

Привести пример последовательности непустых вложенных ограниченных замкнутых множеств в пространстве $l_{2}$, имеющих пустое пересечение.

Доказать, что угол $\widehat{x, M}$ между подпространством $M$ и вектором $x$ в вещественном гильбертовом пространстве $H$ принимает значения в промежутке $\left[0, \frac{\pi }{2}\right]$.

В пространстве $L_{2}[-1,1]$ для следующих множеств найти выпуклую оболочку, замыкание, линейную оболочку, замыкание линейной оболочки и ортогональное дополнение: ¹

В пространстве $W_{2}^{1}[-1,1]$ для следующих множеств найти выпуклую оболочку, замыкание, линейную оболочку, замыкание линейной оболочки и ортогональное дополнение:

Пусть $H_{n}, n \in \mathbb {N} \cup \left\{ \infty \right\}$, — множество векторов $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ пространства $l_{2}$, для которых $\sum_{k = 1}^{n} x_{n} = 0$. Найти $H_{n}^{\perp }$ и доказать, что все $H_{n}, n \neq \infty$, — замкнутые подпространства, а $H_{\infty }$ — незамкнутое всюду плотное в $l_{2}$ подпространство.

В вещественных пространствах $L_{2}[0,1]$ и $W_{2}^{n}[0,1], n \in \mathbb {N}$, найти угол между векторами $x(t) = 1$ и $y(t) = t$.

В пространстве $L_{2}[0,1]$ рассмотрим непрерывную кривую $\gamma :[0,1] \rightarrow L_{2}[0,1], \gamma (\tau ) = \chi_{\tau }$, где $\chi_{a}$ — характеристическая функция отрезка $[0, a]$. Пусть $x = \gamma \left(\tau_{2}\right)-\gamma \left(\tau_{1}\right), y = \gamma \left(\tau_{3}\right)-\gamma \left(\tau_{2}\right)$, $0 \leqslant \tau_{1} < \tau_{2} < \tau_{3} \leqslant 1$, — две хорды кривой $\gamma$ с общим концом. Доказать, что $x$ и $y$ ортогональны. Существует ли такая кривая в конечномерном евклидовом пространстве?

В пространстве $L_{2}[0,1]$ найти расстояние от вектора $x(t) = t^{n}, n \in \mathbb {N}$, до подпространства $H_{0} = \left\{ x \in L_{2}[0,1]: \int_{0}^{1} x(t) d t = 0\right\}$.

Пусть $H_{0}$ — конечномерное подпространство гильбертова пространства $H$, а $\left\{ h_{k}\right\}_{1}^{n}$ — линейный базис (не обязательно ортогональный) в $H_{0}$. Доказать, что для любого $x \in H$ элемент наилучшего приближения в $H_{0}$ имеет вид

а расстояние от $x$ до $H_{0}$ определяется равенством

В частности, если $\left\{ h_{k}\right\}_{1}^{n}$ — ортонормированный базис в $H_{0}$, то элемент наилучшего приближения $y = \sum_{k = 1}^{n}\left(x, h_{k}\right) h_{k}$, а

В пространстве $l_{2}$ найти $\operatorname {dist}\left(e_{1}, H_{n}\right)$, где $e_{1} = (1,0,0, \ldots )$, $H_{n} = \left\{ x \in l_{2}: \sum_{k = 1}^{n} x_{k} = 0\right\} , n \in \mathbb {N}$.

В пространстве $L_{2}[0,1]$ найти расстояние от вектора $x(t) = t^{2}$ до подпространства $\mathcal{P}_{1}$ всех линейных функций. Найти элемент наилучшего приближения для $x$ в $\mathcal{P}_{1}$ (ср. с задачей 2.73).

Доказать, что система конечного числа векторов $\left\{ x_{k}\right\}_{k = 1}^{n}$ гильбертова пространства линейно независима тогда и только тогда, когда её определитель Грама отличен от нуля.

Применить процесс ортогонализации Грама-Шмидта к системе $\left\{ 1, t, t^{2}\right\}$ в пространствах

Применить процесс ортогонализации Грама-Шмидта к системе $\left\{ e^{-t^{2} / 2}, t e^{-t^{2} / 2}, t^{2} e^{-t^{2} / 2}, t^{3} e^{-t^{2} / 2}\right\}$ в пространстве $L_{2}(\mathbb {R})$.

Пусть $H$ — сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство, а $\left\{ e_{n}\right\}$ — произвольная ортонормированная система в нём. Доказать, что эту систему можно дополнить до ортонормированного базиса $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$. Вывести отсюда, что в любом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказать, что следующие системы являются ортонормированными базисами в пространстве $L_{2}[-\pi , \pi ]$:

Доказать, что следующие системы являются ортонормированными базисами в пространстве $L_{2}[0, \pi ]$:

Доказать, что система многочленов Лежандра

• ортонормированный базис в пространстве $L_{2}[-1,1]$.

Доказать, что система многочленов Чебышёва I рода (см. задачу 2.73)

• ортонормированный базис в пространстве $L_{2}\left([-1,1], \frac{d t}{\sqrt{1-t^{2}}}\right)$.

Доказать, что система многочленов Якоби

(здесь $\alpha > -1, \beta > -1, n = 0,1, \ldots$) — ортонормированный базис в пространстве $L_{2}\left([-1,1],(1-t)^{\alpha }(1+t)^{\beta } d t\right)$.

Доказать, что система многочленов Лагерра

• ортонормированный базис в пространстве $L_{2}\left((0, \infty ), e^{-t} d t\right)$.

Доказать, что система многочленов Эрмита

• ортонормированный базис в пространстве $L_{2}\left(\mathbb {R}, e^{-t^{2}} d t\right)$.

Найти ортонормированную систему, полученную в результате применения процесса ортогонализации Грама-Шмидта к системе $\left\{ e^{i n t}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ в пространстве $W_{2}^{1}[-\pi , \pi ]$. Является ли полученная система ортонормированным базисом в этом пространстве?

Будет ли ортонормированная система, полученная в предыдущей задаче, базисом в пространстве $H: = \left\{ f \in W_{2}^{1}[-\pi , \pi ]: f(-\pi ) = f(\pi )\right\}$?

Найти ортонормированную систему $\left\{ \varphi_{n}\right\}$, полученную в результате применения процесса ортогонализации Грама-Шмидта к системе $\left\{ \sin n t\right\}_{n = 1}^{\infty }$ в пространстве $W_{2}^{1}[0, \pi ]$. Является ли полученная система ортонормированным базисом:

Доказать, что множество последовательностей коэффициентов Фурье всех функций из пространства $\dot{W}_{2}^{1}[0,1]$ по системе $\left\{ \varphi_{n}\right\}$ из предыдущей задачи совпадает с линейным пространством $l_{2, \mathbb {N}}$ (см. определение в задаче 3.13).

Найти ортонормированную систему, полученную в результате применения процесса ортогонализации Грама-Шмидта к системе $\left\{ \cos n t\right\}_{n = 0}^{\infty }$ в пространстве $W_{2}^{1}[0, \pi ]$. Является ли полученная система ортонормированным базисом в этом пространстве?

Найти ортонормированную систему, полученную в результате применения процесса ортогонализации Грама-Шмидта к системе $\left\{ \cos n t, \sin (n+1 / 2) t\right\}_{n = 0}^{\infty }$ в пространстве $W_{2}^{1}[-\pi , \pi ]$. Является ли полученная система ортонормированным базисом в этом пространстве?

Найти ортонормированную систему, полученную в результате применения процесса ортогонализации Грама-Шмидта к системе $\left\{ \zeta^{n}\right\}_{n = 0}^{\infty }$ в пространстве $\mathcal{A} \mathcal{L}_{2}(\left|\zeta \right| < 1)$. Является ли полученная система ортонормированным базисом в этом пространстве?

Доказать, что система Радемахера

ортонормирована, но не полна в $L_{2}[0,1]$.

Доказать, что система Уолша, состоящая из всевозможных конечных произведений функций из системы Радемахера, является ортонормированным базисом в $L_{2}[0,1]$.

Доказать, что система Хаара

где $n$ — целая часть $\log_{2} m$, а $k = m-2^{n}$, является ортонормированным базисом в $L_{2}[0,1]$.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ и $\left\{ y_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — ортонормированные базисы в пространствах $L_{2}\left(M_{1}, \Sigma_{1}, \mu_{1}\right)$ и $L_{2}\left(M_{2}, \Sigma_{2}, \mu_{2}\right)$ соответственно. Доказать, что $\left\{ x_{n} \cdot y_{m}\right\}_{m, n = 1}^{\infty }$ — ортонормированный базис в пространстве $L_{2}(M, \Sigma , \mu )$, где $(M, \Sigma , \mu ) = \left(M_{1}, \Sigma_{1}, \mu_{1}\right) \times \left(M_{2}, \Sigma_{2}, \mu_{2}\right).{ }$¹

Предъявить какой-либо ортонормированный базис в пространстве $L_{2}(\mathbb {R})$.

(Н. К. Бари, 1951). Пусть $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — ортонормированный базис вгильбертовом пространстве $H$, а ортонормированная система $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ такова, что $\sum_{n = 1}^{\infty }\left\| e_{n}-f_{n}\right\|^{2} < \infty$. Доказать, что эта система также является ортонормированным базисом в $H$.

Пусть множество $M$ в гильбертовом пространстве $H$ обладает следующим свойством: для любого $x \in H$ множество $\left\{ (x, y): y \in M\right\} \subset \mathbb {C}$ ограничено. Доказать, что тогда и само множество $M$ ограничено в пространстве $H$.

Вычислить с помощью равенства Парсеваля суммы рядов:

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — ортогональная система векторов гильбертова пространства $H$. Доказать, что следующие условия эквивалентны:

1. ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}$ сходится;

2. для каждого $y \in H$ ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left(x_{n}, y\right)$ сходится; ¹

3. числовой ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left\| x_{n}\right\|^{2}$ сходится.