Метрические пространства

Проверить аксиомы метрики в следующих пространствах (см. список пространств):

Проверить аксиомы метрики $\rho = \rho_{1}+\rho_{2}$ в пространстве $(X, \rho ) = \left(X_{1}, \rho_{1}\right) \times \left(X_{2}, \rho_{2}\right)$, где $X_{1}$ и $X_{2}$ — метрические пространства.

Доказать, что в метрическом пространстве следующие условия эквивалентны:

(1) множество замкнуто;

(2) множество содержит все свои граничные точки;

(3) множество содержит все свои предельные точки.

Верно ли, что в произвольном метрическом пространстве замыкание открытого шара $B(x, r)$ есть замкнутый шар $\bar{B}(x, r)$?

Доказать, что для произвольного множества $A$ метрического пространства $X$ справедливы следующие утверждения:

Описать все открытые и все замкнутые множества в пространстве $\operatorname {discr}(X)$.

Пусть $X$ — произвольное метрическое пространство. Доказать, что любые объединения и конечные пересечения открытых множеств открыты. Привести пример бесконечной системы открытых множеств, пересечение которых не открыто.

Доказать, что в метрическом пространстве $X$ пересечение любого числа открытых множеств открыто тогда и только тогда, когда $X$ состоит из изолированных точек ¹.

Привести пример метрического пространства $X$ и таких двух различных множеств $A$ и $B$ в нём, что $A \subsetneq B$, но $\bar{A} \supsetneq B$.

Привести пример метрического пространства и таких шаров $B\left(x, r_{1}\right)$ и $B\left(y, r_{2}\right)$ в нём, что $r_{1} > r_{2}$, но $B\left(x, r_{1}\right) \varsubsetneqq B\left(y, r_{2}\right)$.

Доказать, что в пространстве $\mathbb {Q}_{p}$ аксиома треугольника выполнена в усиленном виде: $\rho (x, y) \leqslant \max \left\{ \rho (x, z), \rho (y, z)\right\}$ и, более того, из трёх чисел $\rho (x, y), \rho (x, z)$ и $\rho (y, z)$ два числа обязательно равны (все «треугольники» в этом пространстве равнобедренные).

Доказать, что в пространстве $\mathbb {Q}_{p}$ :

Доказать, что:

Пусть $A$ — ограниченное множество в метрическом пространстве. Доказать, что замыкание $\bar{A}$ также ограничено и $\operatorname {diam}(\bar{A}) = \operatorname {diam}(A)$.

Доказать, что для любого ограниченного множества в метрическом пространстве выполнены неравенства

Доказать, что в пространстве $l_{2}(2)$ для всякого ограниченного множества $M$ чебышёвский центр существует и $\operatorname {diam}(M) / 2 \leqslant r_{C}(M) \leqslant \operatorname {diam}(M) / \sqrt{3}$.

Доказать, что в пространстве $l_{\infty }(2)$ для всякого ограниченного множества $M$ чебышёвский центр существует и $r_{C}(M) = \operatorname {diam}(M) / 2$.

Привести пример метрического пространства, в котором для всякого ограниченного множества $M$ выполнено равенство $r_{C}(M) = \operatorname {diam}(M)$.

Описать все фундаментальные последовательности в дискретном метрическом пространстве и в пространстве $\mathbb {N}$.

Доказать, что в пространстве $B_{0}$ предел последовательности $\left\{ x_{n} = \left(x_{n}^{1}, x_{n}^{2}, \ldots \right)\right\}_{1}^{\infty }$ равен $x = \left(x^{1}, x^{2}, \ldots \right)$ тогда и только тогда, когда для любого $k \in \mathbb {N}$ найдётся такое $N_{k} \in \mathbb {N}$, что $x_{n}^{k} = x^{k}$ для всех $n > N_{k}$.

Пусть $X$ — метрическое пространство, $A$ — его подмножество, $x$ — произвольная точка $X$. Доказать, что $\operatorname {dist}(x, A) = \operatorname {dist}(x, \bar{A})$.

Пусть $(X, \rho )$ — метрическое пространство, а функция $\varphi (\xi )$ непрерывна и выпукла вверх (не обязательно строго) на $[0,+\infty )$, причём $\varphi (\xi ) > 0$ на $(0,+\infty )$ и $\varphi (0) = 0$. Доказать, что $\rho_{1}(x, y) = \varphi (\rho (x, y))$ задаёт метрику на $X$, причём $\rho_{1} \sim \rho$, а если функция $\varphi$ вдобавок ограничена на $[0,+\infty )$, то новое метрическое пространство $(X, \rho_{1})$ также ограничено.

Доказать, что метрическое пространство $\mathbb {Q}$ с обычной метрикой $\rho (x, y) = \left|x-y\right|$ не полно. Существует ли счетное полное метрическое пространство?

Пусть неполное метрическое пространство $(X, \rho )$ плотно в метрическом пространстве $(Y, \rho )$. Доказать, что если любая фундаментальная последовательность точек множества $X$ имеет предел в пространстве $Y$, то $(Y, \rho )$ является пополнением пространства $(X, \rho )$.

Доказать, что метрическое пространство $\mathbb {R}$ является пополнением пространства $\mathbb {Q}$.

Для каждой из следующих функций $\rho_{k}: \mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ определить, удовлетворяет ли она аксиомам метрики, а если удовлетворяет, то эквивалентна ли она стандартной метрике $\rho_{0}(x, y) = \left|x-y\right|$. Полно ли пространство $\mathbb {R}$ относительно метрики $\rho_{k}$? Для неполных пространств найти пополнение.

Какие из следующих метрических пространств полны (для неполных пространств необходимо описать их пополнение):

Доказать, что в пространстве $\mathbb {Q}_{p}$ последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ фундаментальна тогда и только тогда, когда $\rho_{p}\left(x_{n}, x_{n+1}\right) \rightarrow 0$.

Доказать, что пространство $\overline{\mathbb {Q}}_{p}$ (см. список пространств) действительно является пополнением пространства $\mathbb {Q}_{p}$.

Доказать, что если метрическое пространство $X$ полно, то его пополнение $Y$ изоморфно пространству $X$.

Пусть имеется метрическое пространство $(X, \rho ) = \left(X_{1}, \rho_{1}\right) \times \left(X_{2}, \rho_{2}\right)$, где $\rho = \rho_{1}+\rho_{2}$, а $X_{1}$ и $X_{2}$ — полные метрические пространства. Доказать, что $X$ полно.

Пусть $(X, \rho )$ — полное метрическое пространство, $Y \subset X$. Доказать, что пространство $(Y, \rho )$ полно тогда и только тогда, когда множество $Y$ замкнуто в $X$.

Привести пример таких полных метрических пространств $\left(X, \rho_{1}\right)$ и $(Y, \rho_{2})$, что $Y \subset X$, но $Y$ не замкнуто в $(X, \rho_{1})$. Привести пример полного метрического пространства $(X, \rho_{1})$ и неполного метрического пространства $(Y, \rho_{2})$, для которых $Y \subset X$ и $Y$ замкнуто в $(X, \rho_{1})$.

Привести пример полного метрического пространства, в котором расстояние от точки до замкнутого множества может не достигаться.

Доказать теорему 1.2.

Теорема 1.2 (о вложенных шарах): пусть $X$ — полное метрическое пространство и $B_{1} \supset B_{2} \supset \ldots$ — последовательность вложенных замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю. Тогда $\bigcap_{n = 1}^{\infty } B_{n}$ состоит ровно из одной точки.

Привести пример полного метрического пространства, в котором есть последовательность замкнутых вложенных шаров $B_{1} \supset B_{2} \supset \ldots$, радиусы которых стремятся к положительному числу, а $\bigcap_{n = 1} B_{n} = \varnothing$.

Привести контрпримеры к теореме о вложенных шарах для случая, когда метрическое пространство неполно, и для случая, когда шары открыты.

Доказать, что в полном метрическом пространстве любая последовательность замкнутых ограниченных вложенных непустых множеств с диаметрами, стремящимися к нулю, имеет в пересечении ровно одну точку.

Доказать, что не существует счетных полных метрических пространств без изолированных точек.

Доказать, что множество $A$ в метрическом пространстве $X$ нигде не плотно тогда и только тогда, когда множество $\bar{A}$ не содержит ни одного шара.

Доказать, что дополнение к нигде не плотному множеству всюду плотно. Привести пример, показывающий, что дополнение к всюду плотному множеству не обязано быть нигде не плотным множеством. Доказать, что дополнение к всюду плотному открытому множеству нигде не плотно.

Доказать, что замыкание нигде не плотного множества нигде не плотно.

Пусть множество $U$ открыто, а множество $F$ замкнуто в метрическом пространстве $X$. Обозначим через $F^{0}$ внутренность множества $F$. Доказать, что следующие множества нигде не плотны в $X$ :

Доказать, что пересечение не более чем счётного числа открытых всюду плотных множеств в полном метрическом пространстве есть всюду плотное множество.

Доказать теорему 1.3. Показать существенность условия полноты пространства в условии теоремы.

Теорема 1.3 (Бэра): в полном метрическом пространстве пересечение любого счётного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно (эквивалентно: полное метрическое пространство не может быть представлено в виде счётного объединения нигде не плотных множеств).

Существуют ли неполные метрические пространства, для которых теорема Бэра верна?

Доказать, что в метрическом пространстве, состоящем лишь из изолированных точек, всюду плотно только все пространство и нигде не плотно только пустое множство.

Пусть в метрическом пространстве $(X, \rho )$ множество $A$ вложено в замыкание множества $B$, где $B$ — счётно. Доказать, что метрическое пространство $(A, \rho )$ сепарабельно. В частности, любое подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно.

Доказать, что пополнение сепарабельного метрического пространства сепарабельно.

Доказать, что следующие пространства сепарабельны:

Пусть $(X, \rho )$ — метрическое пространство, а $\varphi (\xi )$ — неотрицательная, непрерывная, выпуклая вверх и ограниченная на $[0,+\infty )$ функция, причём $\varphi (0) = 0$. Доказать, что если $(X, \rho )$ сепарабельно, то $(X, \rho_{1})$, где $\rho_{1} = \varphi (\rho )$, также сепарабельно.

Доказать, что существует функция, непрерывная на отрезке $[0,1]$, отличная от константы и не являющаяся монотонной ни на одном интервале из этого отрезка.

Доказать, что не существует функции $U(x, y)$, непрерывной на квадрате $[0,1] \times [0,1]$ и универсальной в следующем смысле: для всякой функции $f \in C[0,1]$, удовлетворяющей условию $\max_{x \in [0,1]}\left|f(x)\right| \leqslant 1$, найдется такое число $y = y(f) \in [0,1]$, что $f(x) \equiv U(x, y(f))$.

Доказать, что если функция $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ является поточечным пределом непрерывных функций ¹, то ее множество точек непрерывности всюду плотно на отрезке $[0,1]$.

Пусть функция $f$ голоморфна в области $D$ и для каждого $z \in D$ найдется такой номер $n = n(z)$, что $f^{(n)}(z) = 0$. Доказать, что $f$-многочлен.

Пусть функция $f$ бесконечно дифференцируема на отрезке $[0,1]$ и для каждого $x \in (0,1)$ найдется такой номер $n = n(x)$, что $f^{(n)}(x) = 0$. Доказать, что $f$ — многочлен.

Пусть на множестве $X$ введены две метрики $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$. Доказать, что $\rho_{1} \prec \rho_{2}$ тогда и только тогда, когда отображение $f:\left(X, \rho_{2}\right) \rightarrow \left(X, \rho_{1}\right), f(x) = x$, непрерывно. Доказать, что $\rho_{1} \sim \rho_{2}$ тогда и только тогда, когда $f$ — гомеоморфизм.

Пусть $X$ — метрическое пространство, $M \subset X$ — произвольное непустое множество. Доказать, что отображение $f: x \mapsto \operatorname {dist}(x, M)$ из $X$ в $\mathbb {R}$ непрерывно.

Пусть $X$ и $Y$ — метрические пространства, а $f: X \rightarrow Y$ непрерывное сюръективное отображение. Доказать, что если $M$ всюду плотное в $X$ множество, то его образ $f(M)$ — всюду плотное множество в $Y$.

Привести пример непрерывной, но не ограниченной на некотором шаре функции $f: X \rightarrow \mathbb {R}$, где $X$ — полное метрическое пространство.

В полных метрических пространствах привести примеры локально равномерно непрерывного отображения, не являющегося равномерно непрерывным, и непрерывного, но не локально равномерно непрерывного отображения.

Пусть $X = \operatorname {discr}(M)$. Доказать, что изометричное вложение $f: X \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ существует тогда и только тогда, когда пространство $X$ содержит не более чем $n+1$ точку.

Доказать, что метрические пространства $\mathbb {R}$ и вещественное $l_{2}(2)$ не гомеоморфны.

Доказать, что вещественные метрические пространства $l_{2}(2)$ и $l_{\infty }(2)$ гомеоморфны, но не изометричны.

Пусть функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ дифференцируема на $\mathbb {R}$ и удовлетворяет условию $\sup_{t \in \mathbb {R}}\left|f^{\prime }(t)\right| \leqslant q < 1$. Доказать, что уравнение $f(t) = t$ имеет единственное решение на $\mathbb {R}$.

С помощью теоремы о сжимающем отображении вычислить предел последовательности непрерывных дробей: $2 ; 2+\frac{1}{2}$; $2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}} ; \ldots$

Пусть функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ дифференцируема на $\mathbb {R}$ и удовлетворяет условию $\inf_{t \in \mathbb {R}}\left|f^{\prime }(t)\right| \geqslant q > 1$. Доказать, что уравнение $f(t) = t$ имеет единственное решение на $\mathbb {R}$.

Доказать, что уравнение $x(t) = t+\varepsilon x\left(t^{\alpha }\right)$, где $\left|\varepsilon \right| < 1, \alpha > 0$, имеет единственное решение в пространстве $C[0,1]$.

Доказать, что отображение $A: C[0,1] \rightarrow C[0,1], A x(t) = \lambda \int_{0}^{t} x(s) d s+1$, является сжимающим при $\left|\lambda \right| < 1$, и найти его неподвижную точку.

Пусть в полном метрическом пространстве $X$ отображение $f$ непрерывно и некоторая степень $f^{p} = \underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{p}$ отображения $f$ сжимает: $\rho \left(f^{p}(x), f^{p}(y)\right) \leqslant q \rho (x, y)$, где $q < 1, x, y \in X$. Доказать, что отображение $f$ имеет в $X$ единственную неподвижную точку: $f(x) = x$.

Доказать, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет неподвижную точку.

Пусть $\bar{B}^{\prime }(0,1)$ есть проколотый замкнутый единичный шар пространства $\mathbb {R}^{n}$ (т. е. шар с выкинутым центром). Привести пример непрерывного отображения этого множества в себя, не имеющего неподвижной точки.

Существует ли неполное метрическое пространство, в котором принцип сжимающих отображений справедлив?

Построить пример такого полного метрического пространства $X$ и отображения $f: X \rightarrow X$, что $\rho (f(x), f(y)) < \rho (x, y)$, но $f$ не имеет неподвижной точки. $\downarrow$