Линейные топологические пространства

Пусть в линейном топологическом пространстве множество $A$ открыто, а множество $B$ — произвольное. Доказать, что множество $A+B$ открыто.

Пусть в линейном топологическом пространстве множества $A$ и $B$ — замкнутые линейные подпространства. Верно ли, что $A+B$ — также замкнутое подпространство?

Пусть в линейном топологическом пространстве множество $A$ замкнуто, а множество $B$ компактно. Верно ли, что множество $A+B$ замкнуто?

Пусть в линейном топологическом пространстве $X$ множества $A$ и $B$ компактны. Будет ли компактным множество $C = A+B$?

Пусть в линейном топологическом пространстве множество $A$ открыто, а множество $B$ замкнуто. Доказать, что для любого скаляра $\lambda$ множество $\lambda A$ открыто, а множество $\lambda B$ замкнуто.

В нормированном пространстве описать какую-нибудь локальную базу $\mathcal{B}$ окрестностей нуля.

Привести пример топологии в линейном пространстве, относительно которой сложение непрерывно, а умножение на скаляр разрывно. $\downarrow$

Привести пример топологии в линейном пространстве, относительно которой сложение разрывно, а умножение на скаляр непрерывно.

Доказать, что линейное топологическое пространство удовлетворяет третьей аксиоме отделимости $T_{3}$.

Доказать, что линейное топологическое пространство отделимо (то есть удовлетворяет первой аксиоме отделимости $T_{1}$) тогда и только тогда, когда пересечение всех окрестностей нуля состоит только из нуля. В частности, всякое локально ограниченное линейное топологическое пространство отделимо.

Доказать, что в конечномерном линейном пространстве $X$ есть только одна топология (с точностью до эквивалентности), относительно которой $X$ является отделимым линейным топологическим пространством.

Пусть $X$ — линейное пространство. Доказать, что среди всех отделимых топологий, превращающих $X$ в локально выпуклое линейное топологическое пространство, существует самая сильная топология (её называют ядерно-выпуклой топологией). Доказать, что эту топологию можно эквивалентно определить так: база окрестностей нуля состоит из всех выпуклых множеств, содержащих нуль и пересекающихся с каждой прямой, проходящей через нуль, по интервалу положительной длины.

Доказать теорему 14.1.

Теорема 14.1: хаусдорфово полинормированное пространство метризуемо тогда и только тогда, когда его семейство полунорм эквивалентно своему не более чем счётному подсемейству.

Доказать теорему 14.2.

Теорема 14.2: хаусдорфово полинормированное пространство нормируемо тогда и только тогда, когда его семейство полунорм эквивалентно своему конечному подсемейству.

Найти крайние точки единичного шара в пространствах

Найти крайние точки единичного шара в пространстве $BV_{0}[0,1]$ над полем $\mathbb {C}$.

Доказать, что среди комплексных пространств $l_{1}, l_{2}, l_{\infty }, c_{0}$, $c, L_{1}[0,1], L_{\infty }[0,1], C[0,1], B V[0,1], B C(\mathbb {R}), C_{0}(\mathbb {R})$ нет ни одной пары изометрически изоморфных пространств.

Доказать, что существует изометрическое вложение пространства $l_{\infty }$ в пространство $L_{\infty }[0,1]$ и изометрическое вложение $L_{\infty }[0,1]$ в $l_{\infty }$ (хотя сами пространства $L_{\infty }[0,1]$ и $l_{\infty }$, согласно предыдущей задаче, не являются изометрически изоморфными).

Пусть $l_{p}, p \in (0,1)$, — комплексное или вещественное линейное пространство бесконечных последовательностей $(x_{1}, x_{2}, \ldots )$, для которых ряд $\sum_{k = 1}^{\infty }\left|x_{k}\right|^{p}$ сходится. Зададим базу окрестностей нуля $\mathcal{B} = \left\{ G_{r}\right\}_{r > 0}$, где $G_{r} = \left\{ x: \sum_{k = 1}^{\infty }\left|x_{k}\right|^{p} < r\right\}$. Доказать, что эта база задаёт линейное топологическое пространство, которое не является локально выпуклым.

Проверить, является ли линейное пространство с дискретной топологией (это топология, в которой открытыми являются все множества) линейным топологическим.

Рассмотрим пространство классов эквивалентности измеримых по Лебегу на $[0,1]$ функций с метрикой

Доказать, что это $F$-пространство, которое локально ограничено (но не локально выпукло — см. задачу 14.89) и сепарабельно. Доказать, что последовательность измеримых функций сходится по метрике этого пространства тогда и только тогда, когда она сходится по мере Лебега на [0,1].