*-слабая сходимость в сопряжённом пространстве

Пусть $f_{n} \xrightarrow {*} f, g_{n} \xrightarrow {*} g, \alpha_{n} \rightarrow \alpha , \beta_{n} \rightarrow \beta$, где $\left\{ f_{n}\right\} , f,\left\{ g_{n}\right\}$ и $g$ функционалы из сопряжённого пространства $X^{*}$, а $\left\{ \alpha_{n}\right\} , \alpha ,\left\{ \beta_{n}\right\}$, $\beta$ — комплексные числа. Доказать, что $\alpha_{n} f_{n}+\beta_{n} g_{n} \xrightarrow {*} \alpha f+\beta g$. Доказать, что если $f_{n} \xrightarrow {*} f$ и $f_{n} \xrightarrow {*} \tilde{f}$, то $f = \tilde{f}$.

Доказать, что из сходимости по норме сопряжённого пространства следует *-слабая сходимость. Привести пример последовательности в сопряжённом пространстве, сходящейся *-слабо, но не сходящейся по норме.

Доказать, что линейные непрерывные функционалы $f_{n} \in X^{*}$ сходятся по норме к функционалу $f$ тогда и только тогда, когда они *-слабо сходятся к $f$ равномерно по единичному шару пространства $X$ (т.е. для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $N$, что справедливо неравенство $\left|\left(f_{n}-f\right)(x)\right| < \varepsilon$ при всех $x \in X,\left\| x\right\| \leqslant 1$, и $n > N$).

Доказать, что из слабой сходимости в сопряжённом пространстве следует *-слабая сходимость. Привести пример последовательности в сопряжённом пространстве, сходящейся *-слабо, но не сходящейся слабо.

Пусть $X$ — нормированное пространство и $\operatorname {dim} X < \infty$. Доказать, что тогда все три вида сходимости (по норме, слабая и *-слабая) в пространстве $X^{*}$ совпадают.

Пусть $X$ — рефлексивное нормированное пространство. Доказать, что слабая и *-слабая сходимости в пространстве $X^{*}$ совпадают.

(Х. Хан, 1922). Доказать, что любое *-слабо ограниченное множество в $X^{*}$ ограничено по норме. Доказать, что из $*$-слабой сходимости или *-слабой фундаментальности последовательности функционалов из $X^{*}$ следует ограниченность этой последовательности по норме.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что пространство $X^{*}$ полно относительно $*$-слабой сходимости (т. е. любая *-слабо фундаментальная последовательность функционалов имеет *-слабый предел в $X^{*}$).

Привести пример такой последовательности $f_{n} \xrightarrow {*} f$, что $f \notin \overline{\operatorname {Lin}\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty }}$.

Пусть $X$ — сепарабельное нормированное пространство. Доказать, что *-слабая сходимость в единичном шаре пространства $X^{*}$ метризуема.

Пусть $X$ — сепарабельное нормированное пространство. Указать такую метрику $w(x, y)$, определённую на всём $X^{*}$, что последовательность $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty } *$-слабо сходится к $f \in X^{*}$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. последовательность $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ ограничена;

2. $w\left(f_{n}, f\right) \rightarrow 0$.

Пусть $X$ — сепарабельное нормированное пространство. Доказать, что единичный шар в $X^{*}$ *-слабо секвенциально компактен, т. е. из любой последовательности $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty },\left\| f_{n}\right\|_{X^{*}} \leqslant 1$, можно выбрать подпоследовательность, *-слабо сходящуюся к точке единичного шара.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательность функционалов из $X^{*}$. Доказать, что $f_{n} \xrightarrow {*} f$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. последовательность ограничена, т. е. существует такое число $C$, что $\left\| f_{n}\right\|_{X^{*}} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. в $X$ найдётся такое всюду плотное множество $Y$, что $f_{n}(x) \rightarrow f(x)$ для любого $x \in Y$.

Доказать критерий *-слабой сходимости в $l_{1} = \left(c_{0}\right)^{*}$ : последовательность $x_{n} = \left(x_{1}^{(n)}, x_{2}^{(n)}, \ldots \right)$ сходится $*$-слабо к $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. существует такое число $C$, что $\left\| x_{n}\right\|_{l_{1}} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{k}^{(n)} = x_{k}$ для всех $k \in \mathbb {N}$.

Доказать критерий *-слабой сходимости в $l_{\infty } = \left(l_{1}\right)^{*}$ : последовательность $x_{n} = \left(x_{1}^{(n)}, x_{2}^{(n)}, \ldots \right)$ сходится $*$-слабо к $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. существует такое число $C$, что $\left\| x_{n}\right\|_{l_{\infty }} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{k}^{(n)} = x_{k}$ для всех $k \in \mathbb {N}$.

Доказать критерий *-слабой сходимости в пространстве $B V_{0}[0,1] = (C[0,1])^{*}$ : последовательность $g_{n}$ сходится *-слабо к $g$ тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. существует такое число $C$, что $\left\| g_{n}\right\|_{B V_{0}[0,1]} < C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

2. для каждого элемента произвольной системы функций $\left\{ f_{\alpha }\right\}$ в пространстве $C[0,1]$, удовлетворяющей условию $\overline{\operatorname {Lin}\left\{ f_{\alpha }\right\} } = C[0,1]$, справедливо равенство

   $$\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{0}^{1} f_{\alpha }(t) d g_{n} = \int _{0}^{1} f_{\alpha }(t) d g$$

Пусть $A = \left\{ a_{i j}\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$ — бесконечная нижнетреугольная матрица. Пусть $\sum_{j = 1}^{\infty } x_{j}$ — произвольный ряд. Рассмотрим метод суммирования этого ряда, определённый матрицей $A$ по правилу $S(A) = \lim_{n \rightarrow \infty }\left(\sum_{j = 1}^{n} a_{n j} x_{j}\right)$. Доказать, что необходимым условием корректности ¹ этого метода суммирования является условие

Для числовой последовательности $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ определим обобщённый предел с помощью произвольной бесконечной вправо и вниз матрицы $A = \left\{ a_{i, j}\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$ :

Доказать, что $\sigma (A, x) = \lim x_{k}$ для всякой последовательности $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty } \in c$ тогда и только тогда, когда выполнены три условия:

1. $\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n k} = 0, k = 1,2, \ldots$;

2. $\lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{k = 1}^{\infty } a_{n k} = 1$;

3. существует такое число $M$, что $\sum_{k = 1}^{\infty }\left|a_{n k}\right| \leqslant M$ для всех $n$.

(Н. Абель, 1826). Доказать корректность метода суммирования Абеля. Пусть ряд $\sum_{k = 1}^{\infty } a_{k}$ сходится к числу $a$. Доказать, что $\lim_{x < 1, x \rightarrow 1} \sum_{k = 1}^{\infty } a_{k} x^{k} = a$.

Пусть $X$ — нормированное пространство, $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательность векторов из $X$, а $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательность функционалов из $X^{*}$. Будет ли числовая последовательность $f_{n}\left(x_{n}\right)$ сходящейся, если последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ фундаментальна (по норме или слабо) и последовательность $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ фундаментальна (по норме, слабо или *-слабо)? Исследовать все шесть случаев.

Определить вид сходимости (по норме, слабая, *-слабая если речь идёт о сопряжённом пространстве — или отсутствует) следующих последовательностей, и в случае сходимости найти предел:

Пусть $X$ — банахово пространство. Доказать, что для любого оператора $A \in \mathcal{B}\left(X, c_{0}\right)$ найдётся такая последовательность функционалов $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset X^{*}$, что $f_{n} \rightharpoonup 0$ и $(A x)_{n} = f_{n}(x)$ для любого $x \in X$. Доказать, что наоборот, любая слабо сходящаяся к нулю последовательность функционалов $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset X^{*}$ порождает оператор $A \in \mathcal{B}\left(X, c_{0}\right)$ по правилу $(A x)_{n} = f_{n}(x)$.