Всюду плотные множества. Теорема Бэра

Доказать, что множество $A$ в метрическом пространстве $X$ нигде не плотно тогда и только тогда, когда множество $\bar{A}$ не содержит ни одного шара.

Доказать, что дополнение к нигде не плотному множеству всюду плотно. Привести пример, показывающий, что дополнение к всюду плотному множеству не обязано быть нигде не плотным множеством. Доказать, что дополнение к всюду плотному открытому множеству нигде не плотно.

Доказать, что замыкание нигде не плотного множества нигде не плотно.

Пусть множество $U$ открыто, а множество $F$ замкнуто в метрическом пространстве $X$. Обозначим через $F^{0}$ внутренность множества $F$. Доказать, что следующие множества нигде не плотны в $X$ :

Доказать, что пересечение не более чем счётного числа открытых всюду плотных множеств в полном метрическом пространстве есть всюду плотное множество.

Доказать теорему 1.3. Показать существенность условия полноты пространства в условии теоремы.

Теорема 1.3 (Бэра): в полном метрическом пространстве пересечение любого счётного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно (эквивалентно: полное метрическое пространство не может быть представлено в виде счётного объединения нигде не плотных множеств).

Существуют ли неполные метрические пространства, для которых теорема Бэра верна?

Доказать, что в метрическом пространстве, состоящем лишь из изолированных точек, всюду плотно только все пространство и нигде не плотно только пустое множство.

Пусть в метрическом пространстве $(X, \rho )$ множество $A$ вложено в замыкание множества $B$, где $B$ — счётно. Доказать, что метрическое пространство $(A, \rho )$ сепарабельно. В частности, любое подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно.

Доказать, что пополнение сепарабельного метрического пространства сепарабельно.

Доказать, что следующие пространства сепарабельны:

Пусть $(X, \rho )$ — метрическое пространство, а $\varphi (\xi )$ — неотрицательная, непрерывная, выпуклая вверх и ограниченная на $[0,+\infty )$ функция, причём $\varphi (0) = 0$. Доказать, что если $(X, \rho )$ сепарабельно, то $(X, \rho_{1})$, где $\rho_{1} = \varphi (\rho )$, также сепарабельно.

Доказать, что существует функция, непрерывная на отрезке $[0,1]$, отличная от константы и не являющаяся монотонной ни на одном интервале из этого отрезка.

Доказать, что не существует функции $U(x, y)$, непрерывной на квадрате $[0,1] \times [0,1]$ и универсальной в следующем смысле: для всякой функции $f \in C[0,1]$, удовлетворяющей условию $\max_{x \in [0,1]}\left|f(x)\right| \leqslant 1$, найдется такое число $y = y(f) \in [0,1]$, что $f(x) \equiv U(x, y(f))$.

Доказать, что если функция $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ является поточечным пределом непрерывных функций ¹, то ее множество точек непрерывности всюду плотно на отрезке $[0,1]$.

Пусть функция $f$ голоморфна в области $D$ и для каждого $z \in D$ найдется такой номер $n = n(z)$, что $f^{(n)}(z) = 0$. Доказать, что $f$-многочлен.

Пусть функция $f$ бесконечно дифференцируема на отрезке $[0,1]$ и для каждого $x \in (0,1)$ найдется такой номер $n = n(x)$, что $f^{(n)}(x) = 0$. Доказать, что $f$ — многочлен.