Свёртка обобщённых функций

Доказать, что для обобщённой функции $G \in \mathcal{E}^{\prime }$ отображение $\varphi \rightarrow G * \varphi$ определяет непрерывный оператор $S_{G}: \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{D}$ и справедливо включение:

Доказать, что если регулярная обобщённая функция $G = G_{\varphi }$ порождена основной функцией $\varphi$, то для любой обобщённой функции $F$ свёртка $F * G$ есть регулярная функция, порожденная свёрткой $F * \varphi$ (которая вычисляется по определению 18.2).

Доказать, что если одна из обобщённых функций $F$ и $G$ является элементом из $\mathcal{E}^{\prime }$, а другая — элементом из $\mathcal{D}^{\prime }$, то свёртка $F * G$ определена, является элементом пространства $\mathcal{D}^{\prime }$ и справедливо соотношение $F * G = G * F$.

Доказать, что если одна из обобщённых функций $F$ и $G$ является элементом из $\mathcal{E}^{\prime }$, а другая — элементом из $\mathcal{S}^{\prime }$, то свёртка $F * G$ определена, является элементом пространства $\mathcal{S}^{\prime }$ и справедливо соотношение $F * G = G * F$.

Доказать, что если одна из обобщённых функций $G$ и $H$ является элементом из $\mathcal{E}^{\prime }$, а другая — элементом из $\mathcal{S}^{\prime }$, то $\hat{F}[G * H] = \sqrt{2 \pi } \hat{F}[G] \cdot \hat{F}[H]$.

Пусть $f \in L_{2}[-\pi , \pi ]$. Для каждого $a \in [0,2 \pi ]$ и $t \in [-\pi , \pi ]$ положим

Доказать, что система функций $\left\{ f_{a}\right\}_{a \in [0,2 \pi ]}$ полна в $L_{2}[-\pi , \pi ]$ тогда и только тогда, когда $c_{n}(f) = \frac{1}{2 \pi } \int_{-\pi }^{\pi } f(t) e^{-i n t} d t \neq 0$ для всех $n \in \mathbb {Z}$.

Обозначим через $\mathcal{D}_{+}^{\prime }$ множество обобщённых функций $F$ со свойством $\operatorname {supp} F \subset [0,+\infty )$. Доказать, что если $F, G \in \mathcal{D}_{+}^{\prime }$, то свёртка $F * G$ определена и $F * G \in \mathcal{D}_{+}^{\prime }$.

Доказать, что в $\mathcal{D}_{+}^{\prime }$ свёртка ассоциативна.

Привести пример обобщённых функций $F, G$ и $H$, для которых выражения $F *(G * H)$ и $(F * G) * H$ определены и различны.

Пусть функция $g \in L_{1}(\mathbb {R})$ и $\int_{\mathbb {R}} g d x = 1$. Пусть $F_{n} \in \mathcal{D}^{\prime }$ - peгулярные обобщённые функции, порождённые функциями $n g(n x)$. Доказать, что $F_{n} * \varphi \rightarrow \varphi$ в $\mathcal{D}$ для любой функции $\varphi \in \mathcal{D}$ (ср. с задачами 16.20 и 18.31 а)).

Вычислить свёртки:

Показать, что для линейного непрерывного оператора $A: \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{E}$ следующие свойства эквивалентны:

1. $A$ перестановочен со сдвигами: $(A \varphi )(x-a) = A(\varphi (x-a))$ для всех $a \in \mathbb {R}$;

2. А перестановочен с дифференцированием: $(A \varphi )^{\prime } = A\left(\varphi^{\prime }\right)$;

3. $A \varphi = F * \varphi$ для всех $\varphi$, где $F \in \mathcal{D}^{\prime }$ — некоторая обобщённая функция.

Вычислить первообразную порядка $1 / 2$ от

Проверить, что $I\left(\frac{1}{2}\right) I\left(\frac{1}{2}\right) \theta (x) = x_{+}$.

Доказать, что $I(\alpha ) I(\beta ) f = I(\alpha +\beta ) f$ для $f \in \mathcal{D}_{+}^{\prime }, \alpha , \beta \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$.

Вычислить производную порядка $1 / 2$ от $\theta (x)$.

Доказать, что интегральное уравнение Абеля

с известной дифференцируемой функцией $g$ имеет решение $f(x) = \frac{1}{\Gamma (\alpha )} \int_{0}^{x} \frac{g^{\prime }(t) d t}{(x-t)^{1-\alpha }}$ при любом $\alpha \in (0,1)$.