Компактные операторы в конкретных пространствах

При каких $\lambda \in l_{\infty }$ оператор $A x = \left(\lambda_{1} x_{1}, \ldots , \lambda_{n} x_{n}, \ldots \right)$ является компактным оператором в $l_{p}(1 \leqslant p < \infty )$? При каких условиях на последовательность $\lambda$ этот оператор является ядерным?

При каких $a \in L_{\infty }[a, b]$ оператор $(A x)(t) = a(t) x(t)$ является компактным оператором в $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty ]$? При каких $a \in C[0,1]$ оператор $(A x)(t) = a(t) x(t)$ компактен в $C[0,1]$?

Доказать, что любой ограниченный оператор, действующий из рефлексивного пространства в пространство $l_{1}$, является компактным. В частности, если $A \in \mathcal{B}\left(l_{p}, l_{1}\right), 1 < p < \infty$, то $A \in \mathcal{K}\left(l_{p}, l_{1}\right)$.

Доказать, что любой ограниченный оператор, действующий из пространства $c_{0}$ в рефлексивное пространство, является компактным.

Пусть $A \in \mathcal{B}\left(L_{2}[0,1]\right)$ и $\operatorname {Im} A \subset C[0,1]$. Доказать, что $A \in \mathcal{K}\left(L_{2}[0,1]\right)$ (ср. с задачей 9.18).

Доказать, что операторы правого и левого сдвига в любом из пространств $l_{p}, p \in [1, \infty ], c$ или $c_{0}$ не компактны.

Доказать, что если $K \in C\left([a, b]^{2}\right)$, то интегральный оператор $A: L_{p}[a, b] \rightarrow L_{r}[a, b],(A x)(t) = \int_{a}^{b} K(t, s) x(s) d s$, компактен при любых $p, r \in [1, \infty )$.

Доказать, что если $K \in L_{q}\left([a, b]^{2}\right)$, то интегральный оператор $A: L_{p}[a, b] \rightarrow L_{q}[a, b], \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1, q < \infty ,(A x)(t) = \int_{a}^{b} K(t, s) x(s) d s$, является компактным.

Доказать, что если функция $K(t, s)$ непрерывна на квадрате $[a, b]^{2}$ за исключением конечного числа непрерывных кривых вида $s = s_{k}(t), k = 1, \ldots , n, t \in [a, b]$, то интегральный оператор $A: C[a, b] \rightarrow C[a, b],(A x)(t) = \int_{a}^{b} K(t, s) x(s) d s$, является компактным.

Доказать, что не является компактным оператор дифференцирования $A x = x^{\prime }$, действующий:

Доказать, что оператор сдвига $(A x)(t) = x(t-a)$ не компактен в пространствах:

С помощью задачи 11.21 доказать, что оператор Харди

в пространстве $L_{p}[0,1], p \in (1, \infty )$, не компактен.

Привести пример некомпактного ограниченного оператора $A$ в пространстве $L_{p}[0,1], p \in (1, \infty )$, и последовательности $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset L_{p}[0,1]$ со свойствами

1. $x_{n} \rightharpoonup 0$;

2. $\left\| x_{n}\right\|_{L_{p}} = 1$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

3. $\left\| A x_{n}\right\|_{L_{p}} \rightarrow 0$ (ср. с задачей 11.22).

Пусть $X$ — одно из пространств: $l_{p}, p \in (1, \infty )$, с или $c_{0}$. Пусть $A \in \mathcal{K}(X)$, а $\left\{ e_{n} = (0,0, \ldots , 0,1,0,0, \ldots )\right\}_{n = 1}^{\infty }$. Доказать, что $A e_{n} \rightarrow 0$. Привести пример такого компактного оператора $A$ в пространстве $l_{1}$, что $A e_{n} \nrightarrow 0$. $\downarrow$

Доказать, что оператор $A$ вида

в пространствах $l_{p}, p \in (1, \infty )$, с и $c_{0}$ ограничен, не компактен, но $\left\| A e_{n}\right\| \rightarrow 0$.

Является ли компактным в пространстве $C[-1,1]$ оператор $(A x)(t) = \frac{1}{2}(x(t)+x(-t))$?

Пусть $\varphi (t)$ — непрерывное отображение отрезка $[0,1]$ в себя. Доказать, что оператор композиции $A \in \mathcal{B}(C[0,1]),(A x)(t) = x(\varphi (t))$ является компактным в $C[0,1]$ тогда и только тогда, когда $\varphi (t) \equiv$ const.

(Теорема И. К. Даугавета, 1963). Доказать, что для всякого компактного оператора $A$ в $C[0,1]$ имеет место равенство $\left\| A+\lambda I\right\| = \left\| A\right\| +\left|\lambda \right|(\lambda \in \mathbb {C})$.