Банаховы пространства

Пусть нормы $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$ на линейном пространстве $X$ эквивалентны. Доказать, что нормированное пространство $(X,\left\| \cdot \right\|_{1})$ полно тогда и только тогда, когда полно нормированное пространство $\left(X,\left\| \cdot \right\|_{2}\right)$. ¹ Докажите, что если $\left\| \cdot \right\|_{1} \sim \left\| \cdot \right\|_{2}$ на $X$, то это соотношение сохранится и на пополненном пространстве.

Пусть нормированные пространства $X$ и $Y$ изоморфны. Доказать, что тогда они либо оба полны, либо оба неполны.

Доказать, что любое конечномерное нормированное пространство банахово.

Доказать полноту следующих пространств:

Доказать, что пространство $c_{00}$ не полно, и найти его пополнение (сравните с задачей 2.26).

Доказать, что пространства $C_{p}[0,1], p \in [1, \infty )$, не полны.

Доказать, что $L_{p}[0,1]$ является пополнением $C_{p}[0,1]$ при $p \in [1, \infty )$, но $L_{\infty }[0,1]$ не является пополнением пространства $C[0,1]$.

Доказать, что пространства $C_{p}^{n}[0,1], p \in [1, \infty ), n \in \mathbb {N}$, не полны.

Доказать, что пространство $A C[0,1]$ является пополнением пространства $C_{1}^{1}[0,1]$ и, согласно теореме 2.4, изоморфно пространству $W_{1}^{1}[0,1]$.

Доказать, что для любой функции $x \in W_{1}^{1}$ выполнено $\left\| x\right\|_{W_{1}^{1}} = \operatorname {Var}_{0}^{1} x+\int_{0}^{1}\left|x(t)\right| d t$.

Доказать, что для любой непрерывно дифференцируемой на отрезке $[0,1]$ функции $x(t)$ выполнено неравенство

для любого $p \in [1, \infty )$. Пользуясь этим, доказать теорему о вложении (Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтлвуд, 1928): пространство $W_{p}^{1}[0,1]$ вложено в пространство $C[0,1]$.

Доказать следующие утверждения:

Какие из следующих функций принадлежат пространству $W_{2}^{1}[-1,1]: x_{1}(t) = t, x_{2}(t) = \operatorname {sign} t, x_{3}(t) = \left|t\right|, x_{4}(t) = \left|t\right|^{a}$, где $a \in \mathbb {R}$? Для тех функций, которые принадлежат этому пространству, найти норму.

Доказать, что пространство $\mathcal{P}_{n}[0,1], n \in \mathbb {N}$, полно, а пространство $\mathcal{P}[0,1]$ неполно. Найти пополнение пространства $\mathcal{P}[0,1]$.

Найти пополнение линейного пространства многочленов на отрезке $[0,1]$ по норме пространства $B V[0,1]$.

Доказать, что на линейном пространстве многочленов нельзя так ввести норму, чтобы получилось банахово пространство.

Пусть $X$ — метрическое пространство. Обозначим через $B C(X)$ множество всех непрерывных ограниченных функций из $X$ в $\mathbb {C}$. Доказать, что норма $\left\| f\right\|_{B C(X)}: = \sup_{x \in X}\left|f(x)\right|$ превращает $B C(X)$ в банахово пространство (линейные операции вводятся естественным образом).

Пусть $X$ — метрическое пространство. Доказать, что найдётся такое отображение $F: X \rightarrow B C(X)$, что $\left\| F(x)-F(y)\right\|_{B C(X)} = \rho_{X}(x, y)$ для любых $x, y \in X$.

Доказать, что всякое конечное метрическое пространство $X$ изометрически вкладывается в пространство $l_{\infty }(n)$ для некоторого $n$.

Используя предыдущую задачу, доказать теорему 1.1.

Теорема 1.1: всякое метрическое пространство $X$ изометрически вкладывается в некоторое нормированное пространство (а именно в пространство $l_{\infty }(X)$ ограниченных функций на $X$ с sup-нормой, посредством отображения $x \mapsto f_{x}$, $f_{x}(y) = \rho (x, y) - \rho (x_{0}, y)$ при фиксированном $x_{0} \in X$).

Доказать, что следующие пространства изометрически вкладываются в $B V_{0}[0,1]$ :

Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве любая ограниченная последовательность векторов имеет хотя бы одну предельную точку.

Определить, какие из следующих последовательностей сходятся в пространстве $C[0,1]$, и найти их пределы. Для последовательностей, которые не сходятся, найти все предельные точки.

Доказать, что в банаховом пространстве любая система замкнутых вложенных шаров имеет непустое пересечение ¹.

Доказать, что нормированное пространство $X$ полно тогда и только тогда, когда в нём выполнен признак Вейерштрасса сходимости рядов: любой абсолютно сходящийся ряд сходится. Привести пример ни к чему не сходящегося, но абсолютно сходящегося ряда в неполном нормированном пространстве.

Пусть $X$ — банахово пространство. Доказать, что любое конечномерное подпространство в $X$ является подпространством существования.

Привести пример банахова пространства $X$, замкнутого линейного подпространства $Y$ в нём и вектора $x$, для которого элемент наилучшего приближения в подпространстве $Y$ не единствен.

Доказать, что в нормированном пространстве $X$ элемент наилучшего приближения единствен для всякого замкнутого линейного подпространства $Y \subset X$ тогда и только тогда, когда пространство $X$ строго нормировано (см. определение 2.4).

(П. Л. Чебышёв, 1859). Доказать, что среди всех многочленов вида $t^{n}+a_{n-1} t^{n-1}+\ldots +a_{0}$ наименьшую норму в вещественном пространстве $C[-1,1]$ имеет многочлен Чебышёва (I рода) $T_{n}(t) = 2^{1-n} \cos (n \arccos t)$.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $X_{0} \varsubsetneqq X$ — его замкнутое подпространство. Доказать, что при любом $\varepsilon > 0$ существует $\varepsilon$-перпендикуляр к $X_{0}$.

Пусть $X_{0}$ — замкнутое подпространство банахова пространства $X$. Доказать, что если для некоторого вектора $x \notin X_{0}$ существует элемент наилучшего приближения в подпространстве $X_{0}$, то к подпространству $X_{0}$ существует 0-перпендикуляр.

Доказать, что для всякого конечномерного подпространства в банаховом пространстве существует 0 -перпендикуляр.