Сопряжённые пространства

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что пространство $X^{*}$ банахово.

Доказать, что если сопряжённое пространство $X^{*}$ к нормированному пространству $X$ сепарабельно, то $X$ тоже сепарабельно. Привести пример, показывающий, что обратное утверждение неверно.

Пусть нормированное пространство $Z$ есть декартово произведение нормированных пространств $X$ и $Y$ и $\left\| z = (x, y)\right\|_{Z} = \left\| x\right\|_{X}+\left\| y\right\|_{Y}$. Доказать, что сопряжённое пространство $Z^{*}$ совпадает с $X^{*} \times Y^{*}$, и найти норму в нём.

Пусть $X$ — конечномерное нормированное пространство. Доказать, что $X^{*}$ изоморфно $X$ (и, стало быть, тоже конечномерно).

Пусть сопряжённое пространство $X^{*}$ к нормированному пространству $X$ конечномерно. Доказать, что $X$ изоморфно $X^{*}$ (и, стало быть, тоже конечномерно).

Пусть $X_{0}$ — неполное нормированное пространство, а $X$ его пополнение. Доказать, что пространства $X^{*}$ и $X_{0}^{*}$ изометрически изоморфны.

Пусть $X_{1}$ и $X_{2}$ — нормированные пространства, $X_{1} \subset X_{2}$, $\left\| \cdot \right\|_{X_{2}} \prec \left\| \cdot \right\|_{X_{1}}$ на пространстве $X_{1}$ (см. определение 2.3) и $X_{1}$ плотно в $X_{2}$ по норме $\left\| \cdot \right\|_{X_{2}}$. Доказать, что тогда $X_{2}^{*} \subset X_{1}^{*}$ и $\left\| \cdot \right\|_{X_{1}^{*}} \prec \left\| \cdot \right\|_{X_{2}^{*}}$ на пространстве $X_{2}^{*}$.

Построить пример таких нормированных пространств $X_{1}$ и $X_{2}$, что $X_{1} \subsetneq X_{2},\left\| \cdot \right\|_{X_{2}} \prec \left\| \cdot \right\|_{X_{1}}$, но $X_{2}^{*} \supsetneq X_{1}^{*}$ и $\left\| \cdot \right\|_{X_{1}^{*}} \succ \left\| \cdot \right\|_{X_{2}^{*}}$. $\downarrow$

Доказать утверждение п. 2 в списке сопряжённых пространств по схеме, описанной в предыдущей задаче.

Найти элементы пространства $l_{1}$, соответствующие следующим функционалам на пространствах с и $c_{0}$:

Доказать следующие утверждения в списке сопряженных пространств:

Найти элементы пространства $B V_{0}[-1,1]$, соответствующие следующим функционалам на пространстве $C[-1,1]$ :

Найти элементы пространства $B V_{0}[0,1]$, соответствующие следующим функционалам на пространстве $C[0,1]$ :

Пусть $f$ — положительный линейный функционал на вещественном пространстве $C[0,1]$, т.е. $f(x) \geqslant 0$ для любой неотрицательной функции $x(t)$. Доказать, что $f$ непрерывен и $\left\| f\right\| = f\left(x_{0}(t) \equiv 1\right)$.

Найти элементы пространства $L_{\infty }[-1,1]$, соответствующие следующим функционалам на пространстве $L_{1}[-1,1]$ :

Найти элементы пространства $L_{2}[-1,1]$, соответствующие следующим функционалам на пространстве $L_{2}[-1,1]$ :

Найти элементы пространства $l_{\infty }$, соответствующие следующим функционалам на $l_{1}$ :

Найти элементы пространства $l_{2}$, соответствующие следующим функционалам на $l_{2}$ :

Доказать, что пространство $l_{1}$ изометрически вложено в пространство $l_{\infty }^{*}$, но не изоморфно ему.

Доказать, что следующие функционалы являются линейными и непрерывными на пространстве $l_{\infty }$, и найти их нормы:

Доказать, что продолжение по Хану-Банаху любого линейного непрерывного функционала с $c_{0}$ на $l_{\infty }$ единственно. ¹

Доказать, что $L_{1}[0,1]$ изометрически вложено в пространство $(L_{\infty }[0,1])$*, но не изоморфно ему.

Доказать, что следующие функционалы являются линейными и непрерывными в пространстве $L_{\infty }[-1,1]$, и найти их нормы:

Найти элементы пространства $B V_{0}[-1,1] \times \mathbb {C}$, соответствующие следующим функционалам на пространстве $C^{1}[-1,1]$ с нормой $\left\| x\right\|_{C^{1}[-1,1]} = \left|x(-1)\right|+\max_{-1 \leqslant t \leqslant 1}\left|x^{\prime }(t)\right|$ :

Найти элементы пространства $W_{2}^{1}[0,1]$, соответствующие следующим функционалам на пространстве $W_{2}^{1}[0,1]$ :

Решить пункты а, б задачи 5.20 с помощью теоремы 5.4.

Теорема 5.4 (М. Фреше, 1907; Ф. Рисс, 1907): пусть $H$ — гильбертово пространство. Тогда любой вектор $y \in H$ порождает линейный непрерывный функционал $f_{y}$ на $H$, действующий по правилу $f_{y}(x) = (x, y)$. Обратно, для любого линейного непрерывного функционала $f$ на пространстве $H$ найдётся такой вектор $y \in H$, что $f = f_{y}$. Отображение $y \mapsto f_{y}$ является не только биекцией, но изометрией и антилинейным отображением, т. е. $\alpha y_{1}+\beta y_{2} \mapsto \bar{\alpha } f_{y_{1}}+\bar{\beta } f_{y_{2}}$.