Функциональное исчисление и спектральная теорема

(Теорема об отображении спектра для многочленов). Доказать, что для ограниченного оператора $A$ в банаховом пространстве и для многочлена $p$ справедливо соотношение $\sigma (p(A)) = p(\sigma (A))$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$ и $\left\| A\right\| \in \sigma (A)$. Доказать, что $\left\| I+A\right\| = 1+\left\| A\right\|$.

Пусть $A$ — ограниченный оператор в банаховом пространстве $X$, а $r(z) = \frac{p(z)}{q(z)}, z \in \mathbb {C}$, где $p$ и $q$ — многочлены, и пусть $q(z)$ не имеет нулей на спектре оператора $A$. Доказать, что для любого $z \in \sigma (A)$ справедливо соотношение

(здесь $r(A): = p(A)(q(A))^{-1}$). Следующим шагом является определение голоморфной функции $f$ от оператора $A$. Заметим, что в этом случае область голоморфности функции $f$ должна содержать $\sigma (A)$.

Доказать теорему 13.1.

(Теорема об отображении спектров). Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Пусть $f(z)$ — голоморфная в $\mathbb {C}$ (целая) функция. Доказать, что $\sigma (f(A)) = f(\sigma (A))$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$ и $\lambda_{0} \in \sigma \left(A^{2}\right)$. Верно ли, что $\sqrt{\lambda_{0}} \in \sigma (A)$ (хотя бы для одного значения корня)? Верно ли это утверждение с заменой $\sigma$ на $\sigma_{\mathrm{p}}, \sigma_{\mathrm{c}}$ или $\sigma_{\mathrm{r}}$?

Найти спектр оператора $A$, действующего по правилу $A x = \left(x_{1}+x_{2},-x_{2}+x_{3}, x_{3}+x_{4},-x_{4}+x_{5}, \ldots \right)$ в пространстве $l_{p}, p \in [1, \infty ]$ (провести классификацию спектра, определив точечный, непрерывный и остаточный спектр).

Найти оператор $f(A)$, где $f$ — целая функция, $A \in \mathcal{B}\left(L_{p}[0,1]\right)$, $p \in [1, \infty ],(A x)(t) = a(t) x(t)$, где $a \in L_{\infty }[0,1]$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что операторная функция $U(t) = \exp (t A), t \in \mathbb {C}$, дифференцируема и $U^{\prime }(t) = A U(t) = U(t) A$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что $\left\| \exp (A)\right\| \leqslant e^{\left\| A\right\| }$. Доказать, что $\exp (A)$ — обратимый оператор и его обратный есть $\exp (-A)$.

Пусть $A$ — оператор интегрирования:

рассматриваемый в

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Сходятся ли (равномерно) операторы $\left(I+\frac{1}{n} A\right)^{n}$ к оператору $\exp (A)$ при $n \rightarrow \infty$?

Пусть $X$ — банахово пространство, $A, B \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что если $A B = B A$, то $\exp (A+B) = \exp (A) \exp (B)$. Привести пример неперестановочных операторов $A$ и $B$, для которых $\exp (A+B) \neq \exp (A) \exp (B)$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Верно ли, что $(\sin (A))^{2}+(\cos (A))^{2} = I$?

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что если $\lambda \in \sigma_{\mathrm{p}}(A)$, то $e^{\lambda } \in \sigma_{\mathrm{p}}(\exp (A))$. Пусть $\mu \in \sigma_{\mathrm{p}}(\exp (A))$ и $\lambda \in \mathbb {C}$ таково, что $e^{\lambda } = \mu$. Верно ли, что $\lambda \in \sigma_{\mathrm{p}}(A)$?

Можно ли представить оператор сдвига $A \in \mathcal{B}\left(L_{2}(\mathbb {R})\right)$, $A x(t) = x(t+a), a \neq 0$, в виде $A = \exp (B)$?

Доказать, что для самосопряжённого оператора $A$ в гильбертовом пространстве и многочлена $p(x)$

Привести пример, показывающий, что для произвольного несамосопряжённого оператора это утверждение неверно. Доказать это утверждение для произвольного нормального оператора $A$ (использовать задачу 12.35).

Пусть $A = A^{*}$ и $\sigma (A) = \left\{ 0 ; 1\right\}$. Доказать, что оператор $A$ ортопроектор.

Пусть $A = A^{*}$ и $\sigma (A) = \left\{ -1 ; 1\right\}$. Найти $A^{-1}$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор и $\lambda \in \rho (A)$. Доказать, что справедлива оценка $\left\| R_{\lambda }(A)\right\| \leqslant \frac{1}{\operatorname {dist}(\lambda , \sigma (A))}:$

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор. Доказать, что его преобразование Кэли

определено и является унитарным оператором. Доказать, что $A = i(I+U)(I-U)^{-1}$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор в $H$. Положим $U(t): = \exp (i t A) = \sum_{k = 0}^{\infty } \frac{(i t A)^{k}}{k!}, t \in \mathbb {C}$. Доказать, что $U(t)$ является голоморфной операторной группой с генератором $A$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор в $H, \varphi_{[a, b]}$ и $\varphi_{[c, d]}$ — функциональные исчисления для непрерывных функций на отрезках $[a, b]$ и $[c, d]$, причём $a \leqslant c < d \leqslant b$ и $\sigma (A) \subset [c, d], \tau : C[a, b] \rightarrow C[c, d]$ — оператор сужения. Доказать, что $\varphi_{[a, b]} = \varphi_{[c, d]} \tau$, т. е. функциональные исчисления на указанных отрезках согласованы.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор в $H$. Доказать согласованность функциональных исчислений непрерывных и голоморфных функций. А именно, если $f$ — голоморфная функция в круге, содержащем $\sigma (A)$, то оператор $f(A)$, построенный в соответствии с теоремой 13.1, совпадает с оператором, построенным в соответствии с теоремой 13.2.

Пусть $H$ — бесконечномерное гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор. Доказать, что если $A$ компактен, а $f$ — функция, определённая и непрерывная на $\sigma (A)$, то оператор $f(A)$ компактен тогда и только тогда, когда $f(0) = 0$ (сравните с задачей 11.19).

Пусть $f \in C(\mathbb {R})$ и $H$ — гильбертово пространство. Найти $f(A)$ в случае:

Пусть $A$ — самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве $H$ и $f \in C(\mathbb {R})$. Найти матрицу оператора $f(A)$ в базисе из собственных векторов оператора $A$ (см. теорему 12.3).

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — ограниченный самосопряжённый оператор в $H, \sigma (A) \subset [a, b]$ и $f \in C[a, b]$. Доказать, что для функционального исчисления, построенного по оператору $A$ на отрезке $[a, b]$, справедлива теорема об отображении спектров: $\sigma (f(A)) = f(\sigma (A))$.

Пусть $A$ и $B$ — подобные самосопряжённые операторы в $\mathcal{B}(H)$, где $H$ — гильбертово пространство (т. е. $A C = C B$ для некоторого $C \in \mathcal{I B}(H)$). Пусть отрезок $[a, b]$ содержит спектры операторов $A$ и $B$. Доказать, что для любой $f \in C[a, b]$ операторы $f(A)$ и $f(B)$ подобны, причём подобие осуществляется посредством того же оператора $C$.

Пусть $A \geqslant 0$ в гильбертовом пространстве $H$, и непрерывная на отрезке $[a, b] \supseteq \sigma (A)$ функция $f$ также неотрицательна. Доказать, что $f(A) \geqslant 0$.

Пусть ограниченные самосопряжённые операторы $A$ и $B$, действующие в гильбертовых пространствах $H_{1}$ и $H_{2}$ соответственно, подобны. Доказать, что они унитарно эквивалентны, т. е. оператор $U \in \mathcal{B}\left(H_{1}, H_{2}\right)$, осуществляющий подобие $(U A = B U)$, является изометрическим изоморфизмом.

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$, отрезок $[a, b]$ содержит $\sigma (A)$. Доказать, что

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что $\left|A\right| = \sqrt{A^{2}}$. Доказать, что полярное разложение самосопряжённого оператора в $H$ имеет вид $A = \left|A\right| W = W\left|A\right|$, где $W$ — частичная изометрия (см. определения 8.8 и 8.6).

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H, f \in C[a, b]$ — вещественнозначная функция. Доказать, что ¹

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H, f \in C[a, b]$ — вещественнозначная функция. Доказать, что

Построить функциональное исчисление (для непрерывных функций) от унитарного оператора $U$ в гильбертовом пространстве $H$. А именно, доказать, что существует единственный непрерывный гомоморфизм $\varphi$ алгебры $C(\sigma (U))$ в $\mathcal{B}(H)$, обладающий свойствами (1)-(4):

1. $\varphi (f(x) \equiv 1) = I$;

2. $\varphi (f(x) \equiv x) = U$;

3. $\varphi (f+g) = \varphi (f)+\varphi (g), \varphi (f g) = \varphi (f) \circ \varphi (g)$ (условия гомоморфизма);

4. $\varphi$ — линейный непрерывный оператор из $C(\sigma (U))$ в $\mathcal{B}(H)$ (т. е. если последовательность функций $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ из $C(\sigma (U))$ сходится к $f \in C(\sigma (U))$, то $f_{n}(U) \rightrightarrows f(U)$). Этот гомоморфизм также обладает свойствами

5. $(\varphi (f))^{*} = \varphi (g)$, где $g(x) = \bar{f}(1 / x)$;

6. $\left\| \varphi (f)\right\|_{\mathcal{B}(H)} = \max_{t \in \sigma (U)}\left|f(t)\right|$ (усиление свойства непрерывности гомоморфизма $\varphi$);

7. если некоторый ограниченный оператор $V$ коммутирует с $U$, то он коммутирует и с любым оператором $f(U)$.

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$ и пусть $f, g \in C(\mathbb {R})$ — две функции, тождественно совпадающие на луче $t \leqslant \lambda$. Доказать, что $(f(A)-g(A)) E_{\lambda } = 0$.

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$, а $E_{\lambda }$ — разложение единицы для оператора $A$. Доказать следующие свойства:

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что семейство подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с оператором $A$, обладает следующими свойствами:

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что:

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что если $\lambda \in \sigma_{\text{ess }}(A)$ (см. определение 12.4) или $\lambda \in \sigma_{\mathrm{c}}(A)$, то у оператора $A-\lambda I$ существует ортонормированная последовательность Вейля (сравнить с задачей 12.30).

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что

Доказать, что если $\lambda \in \sigma (A) \backslash \sigma_{\mathrm{ess}}(A)$, то $\lambda$ — изолированное собственное значение оператора $A$ конечной кратности.

Найти семейство проекторов $E_{\lambda }$ и подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с оператором $P$ ортогонального проектирования на некоторое подпространство $Y \subset H$.

Найти семейство проекторов $E_{\lambda }$ и подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с оператором $A$, заданным в $l_{2}(n)$ матрицей

где все числа $\lambda_{i}, i = 1, \ldots , n$, вещественны и попарно различны. Как изменится ответ, если среди чисел $\lambda_{i}$ есть одинаковые?

Найти семейство проекторов $E_{\lambda }$ и подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с оператором $A: L_{2}[0,1] \rightarrow L_{2}[0,1],(A x)(t) = t x(t)$.

Найти семейство проекторов $E_{\lambda }$ и подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с оператором $A\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) = \left(\lambda_{1} x_{1}, \lambda_{2} x_{2}, \ldots \right)$ в пространстве $l_{2}$, где $\left\{ \lambda_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ — ограниченная вещественная последовательность.

Найти семейство проекторов $E_{\lambda }$ и подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с оператором, заданным матрицей:

Пусть $a$ — непрерывная строго возрастающая функция на $[0,1]$. Найти семейство проекторов $E_{\lambda }$ и подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с оператором $A: L_{2}[0,1] \rightarrow L_{2}[0,1], A x(t) = a(t) x(t)$.

Описать семейство проекторов $E_{\lambda }$ и подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с самосопряжённым компактным оператором $A$ в гильбертовом пространстве (в терминах собственных значений и собственных векторов).

Найти семейство проекторов $E_{\lambda }$ и подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с оператором $A \in \mathcal{B}\left(L_{2}[-1,1]\right),(A x)(t) = t^{2} x(-t)$.

Пусть $A$ — ограниченный оператор в гильбертовом пространстве $H$ и для любого ортонормированного базиса $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ в $H$ выполнено $\left\| A e_{n}\right\| \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что оператор $A$ компактен (ср. с задачами 11.54 и 11.45).

Доказать, что любой самосопряжённый оператор $A$ в гильбертовом пространстве $H$ можно с любой точностью приблизить конечными линейными комбинациями ортогональных проекторов в пространстве $\mathcal{B}(H)$.

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$, а $B$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $K$. Пусть $H_{\lambda }$ и $K_{\lambda }$ — семейства подпространств, ассоциированные с операторами $A$ и $B$. Доказать, что операторы $A$ и $B$ подобны (унитарно эквивалентны), т. е. $B C = C A$ для некоторого $C \in \mathcal{I B}(H, K)$ ($C$ — унитарный оператор из $H$ в $K$) тогда и только тогда, когда $C$ осуществляет биекцию (унитарный изоморфизм) $H_{\lambda }$ и $K_{\lambda }$ для любого $\lambda \in \mathbb {R}$.

Пусть $U$ — унитарный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что существует единственная проекторнозначная мера $E_{\lambda }$ на окружности $\mathbb {T} = \left\{ z \in \mathbb {C}:\left|z\right| = 1\right\}$ со значениями в $\mathcal{B}(H)$, для которой справедливо равенство

для любой борелевской ограниченной функции $f$ на $\mathbb {T}$.

Пусть $U$ — унитарный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что $\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} U^{k} \xrightarrow {s} P$, где $P$ — ортопроектор на подпространство $\operatorname {Ker}(U-I)$. странство $\operatorname {Ker}(U-I)$.

Пусть $A$ и $B$ — самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве $H$ и $E_{\lambda }, F_{\mu }$ — их разложения единицы соответственно. Доказать, что $A$ и $B$ коммутируют тогда и только тогда, когда $E_{\lambda } F_{\mu } = F_{\mu } E_{\lambda }$ для любых $\lambda , \mu \in \mathbb {R}$.

Пусть $\mathcal{M}_{1}$ и $\mathcal{M}_{2}$ — полные метрические сепарабельные пространства, $\Sigma_{1}$ и $\Sigma_{2}-\sigma$-алгебры борелевских множеств на этих пространствах. Пусть на $(\mathcal{M}_{1}, \Sigma_{1})$ и $(\mathcal{M}_{2}, \Sigma_{2})$ заданы соответственно борелевские разложения единиц $E^{(1)}$ и $E^{(2)}$, значениями которых являются ортогональные проекторы в одном и том же гильбертовом пространстве $H$. Пусть эти разложения единиц коммутируют, т. е. для всех $\Omega_{i} \in \Sigma_{i}(i = 1,2) E^{(1)}\left(\Omega_{1}\right) E^{(2)}\left(\Omega_{2}\right) = E^{(2)}\left(\Omega_{2}\right) E^{(1)}\left(\Omega_{1}\right)$. На декартовом произведении $\mathcal{M}: = \mathcal{M}_{1} \times \mathcal{M}_{2}$ определим $\Sigma$ — борелевскую $\sigma$-алгебру подмножеств, содержащую все «прямоугольники» вида $\Omega_{1} \times \Omega_{2}$. Доказать, что на $(\mathcal{M}, \Sigma )$ существует единственное разложение единицы, определяемое условием

где $\Omega_{i} \in \Sigma_{i}, i = 1,2$.

Пусть $A = A_{\mathrm{re}}+i A_{\mathrm{im}}$ — ограниченный нормальный оператор в гильбертовом пространстве $H, \Pi : = \sigma \left(A_{\mathrm{re}}\right)+i \sigma \left(A_{\mathrm{im}}\right)$. Доказать, что существует такое разложение единицы $E$, определённое на борелевских подмножествах П, что $A = \int_{\Pi } \lambda d E_{\lambda }$, где интеграл понимается в смысле Лебега-Стилтьеса (см. преамбулу этого параграфа).

Пусть $A$ — ограниченный нормальный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что

Пусть $A = A_{\mathrm{re}}+i A_{\mathrm{im}}$ — ограниченный нормальный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что $\sigma (A) \subseteq \sigma \left(A_{\mathrm{re}}\right) + i \sigma \left(A_{\mathrm{im}}\right)$. Привести примеры нормальных операторов, для которых

Пусть $A$ — унитарный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что $\sigma (A) \subseteq \sigma \left(A_{\mathrm{re}}\right)+i \sigma \left(A_{\mathrm{im}}\right)$.

При каких условиях на комплексные числа $\left\{ \lambda_{k}\right\}_{k = 1}^{n}$ у диагонального оператора $A\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) = \left(\lambda_{1} x_{1}, \ldots , \lambda_{n} x_{n}\right)$ в $l_{2}(n)$ есть циклический вектор? Сформулировать условие существования циклического вектора в терминах характеристического многочлена произвольного оператора $A: \mathbb {C}^{n} \rightarrow \mathbb {C}^{n}$.

При каких условиях на ограниченную последовательность комплексных чисел $\left\{ \lambda_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ у диагонального оператора

в $l_{2}$ есть циклический вектор?

Доказать, что оператор $(A x)(t) = a(t) x(t)$ умножения на непрерывную строго монотонную функцию $a(t)$ имеет циклический вектор:

Доказать, что оператор $(A x)(t) = a(t) x(t)$ умножения на непрерывную немонотонную функцию $a(t)$, действующий в пространстве $C[0,1]$, не имеет циклического вектора.

Пусть $A$ — ограниченный самосопряжённый оператор с простым спектром в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что все его собственные значения (если они есть) имеют кратность 1.

Доказать, что компактный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве обладает циклическим вектором в точности тогда, когда все его собственные значения просты.

Пусть $A$ — оператор с циклическим вектором в бесконечномерном гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что операторы $I, A, A^{2}, \ldots$ линейно независимы.

Доказать, что у оператора $T_{l}$ левого сдвига в пространстве $l_{2}$ есть «суперциклический» вектор, т. е. такой вектор $x$, что множество $\left\{ \frac{T_{l}^{n} x}{\left\| T_{l}^{n} x\right\| }\right\}_{n = 0}^{\infty }$ плотно на единичной сфере. Существует ли обратимый оператор с суперциклическим вектором?

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что существует такое разложение в прямую сумму $H = \bigoplus_{n = 1}^{N} H_{n}$, где $N = 1,2, \ldots$ или $\infty$, что $A H_{n} \subset H_{n}$ и для любого $n = 1,2, \ldots , N$ существует вектор $x_{n} \in H_{n}$, который цикличен для сужения $A$ на $H_{n}$, т. е. $\overline{\operatorname {Lin}\left\{ A^{k} x_{n}\right\}_{k = 0}^{\infty }} = H_{n}$.

Найти в пространстве $L_{2}[-1,1]$ разложение единицы оператора умножения:

Для оператора умножения из предыдущей задачи:

Привести пример двух ограниченных самосопряжённых операторов $A$ и $B$ в пространстве $l_{2}$, у которых спектры совпадают, причём $\sigma_{\mathrm{p}}(A) = \sigma_{\mathrm{p}}(B)$ (и кратности соответствующих собственных значений совпадают), $\sigma_{\mathrm{c}}(A) = \sigma_{\mathrm{c}}(B)$, но сами операторы не являются унитарно эквивалентными.

Найти разложение единицы оператора умножения на $t^{3}$ в пространстве $L_{2}[0,1]$. Привести оператор к виду умножения на независимую переменную (найти изометрический изоморфизм и меру $\mu$).

Найти разложение единицы оператора умножения на $\sin t$ в пространстве $L_{2}[0, \pi / 2]$. Привести оператор к виду умножения на независимую переменную (найти изометрический изоморфизм и меру $\mu$).

Найти разложение единицы оператора умножения на $\sin t$ в пространстве $L_{2}(\mathbb {R})$.

Для оператора из задачи 13.77 найти унитарный изоморфизм

такой, что оператор $U A U^{-1}$, суженный на пространство $L_{2}\left([a, b], \mu_{i}\right)$, есть оператор умножения на независимую переменную. Найти $a, b$ и меры $\mu_{i}$.