Последовательности в метрических пространствах. Полнота

Описать все фундаментальные последовательности в дискретном метрическом пространстве и в пространстве $\mathbb {N}$.

Доказать, что в пространстве $B_{0}$ предел последовательности $\left\{ x_{n} = \left(x_{n}^{1}, x_{n}^{2}, \ldots \right)\right\}_{1}^{\infty }$ равен $x = \left(x^{1}, x^{2}, \ldots \right)$ тогда и только тогда, когда для любого $k \in \mathbb {N}$ найдётся такое $N_{k} \in \mathbb {N}$, что $x_{n}^{k} = x^{k}$ для всех $n > N_{k}$.

Пусть $X$ — метрическое пространство, $A$ — его подмножество, $x$ — произвольная точка $X$. Доказать, что $\operatorname {dist}(x, A) = \operatorname {dist}(x, \bar{A})$.

Пусть $(X, \rho )$ — метрическое пространство, а функция $\varphi (\xi )$ непрерывна и выпукла вверх (не обязательно строго) на $[0,+\infty )$, причём $\varphi (\xi ) > 0$ на $(0,+\infty )$ и $\varphi (0) = 0$. Доказать, что $\rho_{1}(x, y) = \varphi (\rho (x, y))$ задаёт метрику на $X$, причём $\rho_{1} \sim \rho$, а если функция $\varphi$ вдобавок ограничена на $[0,+\infty )$, то новое метрическое пространство $(X, \rho_{1})$ также ограничено.

Доказать, что метрическое пространство $\mathbb {Q}$ с обычной метрикой $\rho (x, y) = \left|x-y\right|$ не полно. Существует ли счетное полное метрическое пространство?

Пусть неполное метрическое пространство $(X, \rho )$ плотно в метрическом пространстве $(Y, \rho )$. Доказать, что если любая фундаментальная последовательность точек множества $X$ имеет предел в пространстве $Y$, то $(Y, \rho )$ является пополнением пространства $(X, \rho )$.

Доказать, что метрическое пространство $\mathbb {R}$ является пополнением пространства $\mathbb {Q}$.

Для каждой из следующих функций $\rho_{k}: \mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ определить, удовлетворяет ли она аксиомам метрики, а если удовлетворяет, то эквивалентна ли она стандартной метрике $\rho_{0}(x, y) = \left|x-y\right|$. Полно ли пространство $\mathbb {R}$ относительно метрики $\rho_{k}$? Для неполных пространств найти пополнение.

Какие из следующих метрических пространств полны (для неполных пространств необходимо описать их пополнение):

Доказать, что в пространстве $\mathbb {Q}_{p}$ последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ фундаментальна тогда и только тогда, когда $\rho_{p}\left(x_{n}, x_{n+1}\right) \rightarrow 0$.

Доказать, что пространство $\overline{\mathbb {Q}}_{p}$ (см. список пространств) действительно является пополнением пространства $\mathbb {Q}_{p}$.

Доказать, что если метрическое пространство $X$ полно, то его пополнение $Y$ изоморфно пространству $X$.

Пусть имеется метрическое пространство $(X, \rho ) = \left(X_{1}, \rho_{1}\right) \times \left(X_{2}, \rho_{2}\right)$, где $\rho = \rho_{1}+\rho_{2}$, а $X_{1}$ и $X_{2}$ — полные метрические пространства. Доказать, что $X$ полно.

Пусть $(X, \rho )$ — полное метрическое пространство, $Y \subset X$. Доказать, что пространство $(Y, \rho )$ полно тогда и только тогда, когда множество $Y$ замкнуто в $X$.

Привести пример таких полных метрических пространств $\left(X, \rho_{1}\right)$ и $(Y, \rho_{2})$, что $Y \subset X$, но $Y$ не замкнуто в $(X, \rho_{1})$. Привести пример полного метрического пространства $(X, \rho_{1})$ и неполного метрического пространства $(Y, \rho_{2})$, для которых $Y \subset X$ и $Y$ замкнуто в $(X, \rho_{1})$.

Привести пример полного метрического пространства, в котором расстояние от точки до замкнутого множества может не достигаться.

Доказать теорему 1.2.

Теорема 1.2 (о вложенных шарах): пусть $X$ — полное метрическое пространство и $B_{1} \supset B_{2} \supset \ldots$ — последовательность вложенных замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю. Тогда $\bigcap_{n = 1}^{\infty } B_{n}$ состоит ровно из одной точки.

Привести пример полного метрического пространства, в котором есть последовательность замкнутых вложенных шаров $B_{1} \supset B_{2} \supset \ldots$, радиусы которых стремятся к положительному числу, а $\bigcap_{n = 1} B_{n} = \varnothing$.

Привести контрпримеры к теореме о вложенных шарах для случая, когда метрическое пространство неполно, и для случая, когда шары открыты.

Доказать, что в полном метрическом пространстве любая последовательность замкнутых ограниченных вложенных непустых множеств с диаметрами, стремящимися к нулю, имеет в пересечении ровно одну точку.

Доказать, что не существует счетных полных метрических пространств без изолированных точек.