Компактные операторы в гильбертовых пространствах

Пусть в гильбертовом пространстве $H$ оператор $A^{*} A$ компактен. Доказать, что оператор $A$ компактен.

Доказать, что в гильбертовом пространстве оператор $A$ компактен тогда и только тогда, когда $A^{*}$ компактен.

Пусть $A$ — самосопряжённый неотрицательный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что $A$ компактен тогда и только тогда, когда $\sqrt{A}$ компактен.

Пусть $A, B$ и $C$ — самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве, $B \leqslant A \leqslant C$, причём $B$ и $C$ компактны. Доказать, что $A$ также компактен.

При каких значениях параметра $r$ оператор Харди

(см. задачу 6.33), является компактным?

Доказать, что если $A \in \mathcal{K}(H)$, а $\left\{ e_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$ — ортонормированный базис пространства $H$, то $\left\| A e_{n}\right\| \rightarrow 0$.

Доказать компактность оператора $A: l_{2} \rightarrow l_{2}$,

Является ли оператор $A$ компактным в $l_{2}$ при условии $\lim_{i \rightarrow \infty } \sum_{j = 1}^{+\infty }\left|a_{i j}\right|^{2} = 0$?

Является ли компактным в пространстве $l_{2}$ оператор Гильберта (см. задачу 6.72), определённый матрицей $\left\{ a_{i j}\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$, где $a_{i j} = \frac{1}{i+j}$?

Привести пример компактного оператора $A$ в пространстве $l_{2}$, элементы матрицы которого в стандартном базисе удовлетворяют соотношению $\sum_{k = 1}^{\infty } \sum_{n = 1}^{\infty }\left|a_{k n}\right|^{2} = \infty$.

Пусть $T_{r}:\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \mapsto \left(0, x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ — оператор правого сдвига в пространстве $l_{2}$. Доказать, что если компактный оператор $K$ коммутирует с $T_{r}$, то $K = 0$.

Доказать, что оператор $(A x)(t) = \int_{-\infty }^{+\infty } e^{-\left|t-s\right|} x(s) d s$ не компактен в пространстве $L_{2}(\mathbb {R})$.

Доказать компактность в пространстве $L_{2}[a, b]$ интегрального оператора $(A x)(t) = \int_{a}^{b} K(t, s) x(s) d s$ с ядром $K \in L_{2}\left([a, b]^{2}\right)$.

При каких $\alpha \in (0,1)$ оператор

компактен?

Доказать компактность оператора $A: L_{2}[0,1] \rightarrow L_{2}[0,1]$, $(A x)(t) = \int_{0}^{1} \frac{1}{t-s} \ln \frac{1+t}{1+s} x(s) d s$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{K}(H)$. Доказать, что существует такой вектор $x \in H,\left\| x\right\| = 1$, что $\left\| A x\right\| = \left\| A\right\|$ (ср. с задачей 11.25).

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{K}(H)$, вектор $x \in H,\left\| x\right\| = 1$ и $\left\| A x\right\| = \left\| A\right\|$. Доказать, что оператор $A$ переводит $\left\{ x\right\}^{\perp }$ в $\left\{ A x\right\}^{\perp }$.