Функциональное исчисление ограниченного оператора

(Теорема об отображении спектра для многочленов). Доказать, что для ограниченного оператора $A$ в банаховом пространстве и для многочлена $p$ справедливо соотношение $\sigma (p(A)) = p(\sigma (A))$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$ и $\left\| A\right\| \in \sigma (A)$. Доказать, что $\left\| I+A\right\| = 1+\left\| A\right\|$.

Пусть $A$ — ограниченный оператор в банаховом пространстве $X$, а $r(z) = \frac{p(z)}{q(z)}, z \in \mathbb {C}$, где $p$ и $q$ — многочлены, и пусть $q(z)$ не имеет нулей на спектре оператора $A$. Доказать, что для любого $z \in \sigma (A)$ справедливо соотношение

(здесь $r(A): = p(A)(q(A))^{-1}$). Следующим шагом является определение голоморфной функции $f$ от оператора $A$. Заметим, что в этом случае область голоморфности функции $f$ должна содержать $\sigma (A)$.

Доказать теорему 13.1.

(Теорема об отображении спектров). Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Пусть $f(z)$ — голоморфная в $\mathbb {C}$ (целая) функция. Доказать, что $\sigma (f(A)) = f(\sigma (A))$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$ и $\lambda_{0} \in \sigma \left(A^{2}\right)$. Верно ли, что $\sqrt{\lambda_{0}} \in \sigma (A)$ (хотя бы для одного значения корня)? Верно ли это утверждение с заменой $\sigma$ на $\sigma_{\mathrm{p}}, \sigma_{\mathrm{c}}$ или $\sigma_{\mathrm{r}}$?

Найти спектр оператора $A$, действующего по правилу $A x = \left(x_{1}+x_{2},-x_{2}+x_{3}, x_{3}+x_{4},-x_{4}+x_{5}, \ldots \right)$ в пространстве $l_{p}, p \in [1, \infty ]$ (провести классификацию спектра, определив точечный, непрерывный и остаточный спектр).

Найти оператор $f(A)$, где $f$ — целая функция, $A \in \mathcal{B}\left(L_{p}[0,1]\right)$, $p \in [1, \infty ],(A x)(t) = a(t) x(t)$, где $a \in L_{\infty }[0,1]$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что операторная функция $U(t) = \exp (t A), t \in \mathbb {C}$, дифференцируема и $U^{\prime }(t) = A U(t) = U(t) A$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что $\left\| \exp (A)\right\| \leqslant e^{\left\| A\right\| }$. Доказать, что $\exp (A)$ — обратимый оператор и его обратный есть $\exp (-A)$.

Пусть $A$ — оператор интегрирования:

рассматриваемый в

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Сходятся ли (равномерно) операторы $\left(I+\frac{1}{n} A\right)^{n}$ к оператору $\exp (A)$ при $n \rightarrow \infty$?

Пусть $X$ — банахово пространство, $A, B \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что если $A B = B A$, то $\exp (A+B) = \exp (A) \exp (B)$. Привести пример неперестановочных операторов $A$ и $B$, для которых $\exp (A+B) \neq \exp (A) \exp (B)$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Верно ли, что $(\sin (A))^{2}+(\cos (A))^{2} = I$?

Пусть $X$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(X)$. Доказать, что если $\lambda \in \sigma_{\mathrm{p}}(A)$, то $e^{\lambda } \in \sigma_{\mathrm{p}}(\exp (A))$. Пусть $\mu \in \sigma_{\mathrm{p}}(\exp (A))$ и $\lambda \in \mathbb {C}$ таково, что $e^{\lambda } = \mu$. Верно ли, что $\lambda \in \sigma_{\mathrm{p}}(A)$?

Можно ли представить оператор сдвига $A \in \mathcal{B}\left(L_{2}(\mathbb {R})\right)$, $A x(t) = x(t+a), a \neq 0$, в виде $A = \exp (B)$?