Множества в гильбертовых пространствах

Пусть $M$ — произвольное множество в гильбертовом пространстве. Докажите, что $M^{\perp }$ является замкнутым линейным подпространством.

Пусть $H_{0}$ — собственное замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$. Доказать, что вектор $x$ принадлежит $H_{0}^{\perp }$ тогда и только тогда, когда для всякого $y \in H_{0}$ имеет место неравенство $\left\| x-y\right\| \geqslant \left\| x\right\|$.

Пусть $H_{0}$ — собственное замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$, а $x \in H$. Доказать, что $y \in H_{0}$ является ортогональной проекцией вектора $x$ тогда и только тогда, когда $y$ есть элемент наилучшего приближения для вектора $x$ в подпространстве $H_{0}$.

Доказать, что в гильбертовом пространстве любое замкнутое подпространство является подпространством существования (см. определение 2.17).

Пусть $H = H_{0} \oplus_{\perp } H_{1}$, где $H_{0}$ и $H_{1}$ — замкнутые подпространства, $x \in H$. Обозначим через $y$ элемент наилучшего приближения для $x$ в подпространстве $H_{0}$, через $z$ — элемент наилучшего приближения для $x$ в подпространстве $H_{1}$. Доказать, что $x = y+z$ и, соответственно, $\operatorname {dist}\left(x, H_{0}\right) = \left\| z\right\|$, $\operatorname {dist}\left(x, H_{1}\right) = \left\| y\right\| , \operatorname {dist}^{2}\left(x, H_{0}\right) + \operatorname {dist}^{2}\left(x, H_{1}\right) = \left\| x\right\|^{2}$.

Пусть $H_{0}$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$. Доказать, что $H = H_{0} \oplus_{1} H_{0}^{\perp }$. Верно ли это в предгильбертовом пространстве $H$?

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $H_{0}$ — собственное замкнутое подпространство, $H / H_{0}$ — факторпространство. Доказать, что отображение $J: H_{0}^{\perp } \rightarrow H / H_{0}, J x = [x]$ является изометрическим изоморфизмом (здесь $[x]$ — факторкласс из $H / H_{0}$, содержащий вектор $x$).

Доказать, что линейное подпространство $M$ в гильбертовом пространстве $H$ всюду плотно в $H$ тогда и только тогда, когда $M^{\perp } = \left\{ 0\right\}$.

Доказать, что в гильбертовом пространстве для любого множества $M$ имеет место равенство $\left(M^{\perp }\right)^{\perp } = \overline{\operatorname {Lin}(M)}$ (замыкание линейной оболочки множества $M$).

Пусть $H$ — гильбертово пространство, а $M$ и $N$ — два его взаимно ортогональных линейных подпространства. Доказать, что их ортогональная прямая сумма является топологической прямой суммой. Доказать, что если они оба замкнуты, то $M \oplus_{\perp } N$ — замкнутое подпространство в $H$.

В гильбертовом пространстве $H$ привести примеры таких замкнутых подпространств $M$ и $N$, что $H = M \oplus N$, но эта топологическая прямая сумма не является ортогональной прямой суммой.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательность векторов из $H$, а $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательность комплексных чисел. Доказать, что множество $M = \left\{ x \in H:\left(x, x_{k}\right) = \lambda_{k}, k \in \mathbb {N}\right\}$ либо пусто, либо является замкнутым аффинным подпространством в $H$. ¹

Доказать, что любое замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве является чебышёвским. ¹

Привести пример последовательности непустых вложенных ограниченных замкнутых множеств в пространстве $l_{2}$, имеющих пустое пересечение.

Доказать, что угол $\widehat{x, M}$ между подпространством $M$ и вектором $x$ в вещественном гильбертовом пространстве $H$ принимает значения в промежутке $\left[0, \frac{\pi }{2}\right]$.

В пространстве $L_{2}[-1,1]$ для следующих множеств найти выпуклую оболочку, замыкание, линейную оболочку, замыкание линейной оболочки и ортогональное дополнение: ¹

В пространстве $W_{2}^{1}[-1,1]$ для следующих множеств найти выпуклую оболочку, замыкание, линейную оболочку, замыкание линейной оболочки и ортогональное дополнение:

Пусть $H_{n}, n \in \mathbb {N} \cup \left\{ \infty \right\}$, — множество векторов $x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ пространства $l_{2}$, для которых $\sum_{k = 1}^{n} x_{n} = 0$. Найти $H_{n}^{\perp }$ и доказать, что все $H_{n}, n \neq \infty$, — замкнутые подпространства, а $H_{\infty }$ — незамкнутое всюду плотное в $l_{2}$ подпространство.

В вещественных пространствах $L_{2}[0,1]$ и $W_{2}^{n}[0,1], n \in \mathbb {N}$, найти угол между векторами $x(t) = 1$ и $y(t) = t$.

В пространстве $L_{2}[0,1]$ рассмотрим непрерывную кривую $\gamma :[0,1] \rightarrow L_{2}[0,1], \gamma (\tau ) = \chi_{\tau }$, где $\chi_{a}$ — характеристическая функция отрезка $[0, a]$. Пусть $x = \gamma \left(\tau_{2}\right)-\gamma \left(\tau_{1}\right), y = \gamma \left(\tau_{3}\right)-\gamma \left(\tau_{2}\right)$, $0 \leqslant \tau_{1} < \tau_{2} < \tau_{3} \leqslant 1$, — две хорды кривой $\gamma$ с общим концом. Доказать, что $x$ и $y$ ортогональны. Существует ли такая кривая в конечномерном евклидовом пространстве?

В пространстве $L_{2}[0,1]$ найти расстояние от вектора $x(t) = t^{n}, n \in \mathbb {N}$, до подпространства $H_{0} = \left\{ x \in L_{2}[0,1]: \int_{0}^{1} x(t) d t = 0\right\}$.

Пусть $H_{0}$ — конечномерное подпространство гильбертова пространства $H$, а $\left\{ h_{k}\right\}_{1}^{n}$ — линейный базис (не обязательно ортогональный) в $H_{0}$. Доказать, что для любого $x \in H$ элемент наилучшего приближения в $H_{0}$ имеет вид

а расстояние от $x$ до $H_{0}$ определяется равенством

В частности, если $\left\{ h_{k}\right\}_{1}^{n}$ — ортонормированный базис в $H_{0}$, то элемент наилучшего приближения $y = \sum_{k = 1}^{n}\left(x, h_{k}\right) h_{k}$, а

В пространстве $l_{2}$ найти $\operatorname {dist}\left(e_{1}, H_{n}\right)$, где $e_{1} = (1,0,0, \ldots )$, $H_{n} = \left\{ x \in l_{2}: \sum_{k = 1}^{n} x_{k} = 0\right\} , n \in \mathbb {N}$.

В пространстве $L_{2}[0,1]$ найти расстояние от вектора $x(t) = t^{2}$ до подпространства $\mathcal{P}_{1}$ всех линейных функций. Найти элемент наилучшего приближения для $x$ в $\mathcal{P}_{1}$ (ср. с задачей 2.73).