Теорема Банаха—Штейнгауза

(Часть доказательства теоремы 7.1). Пусть $X$ — банахово пространство, $Y$ — нормированное пространство, а $\left\{ T_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty } \subset \mathcal{B}(X, Y)$, причём $\left\| T_{n}\right\| \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что для любого $\lambda > 0$ множество

нигде не плотно в $X$.

Теорема 7.1 (С. Банах, Г. Штейнгауз, 1927): пусть $X$ — банахово пространство, $Y$ — нормированное пространство, а $\mathcal{M} \subset \mathcal{B}(X, Y)$ — семейство операторов. Если для любого $x \in X$ $\sup_{A \in \mathcal{M}}\left\| A x\right\| \leqslant C(x)$, где константа $C(x)$ зависит только от вектора $x$, то найдётся такая константа $C_{1} > 0$, что $\sup_{A \in \mathcal{M}}\left\| A\right\| \leqslant C_{1}$, т. е. множество $\mathcal{M}$ ограничено в пространстве $\mathcal{B}(X, Y)$.

Показать, что полнота пространства $X$ в условии теоремы 7.1 существенна.

Теорема 7.1 (С. Банах, Г. Штейнгауз, 1927): пусть $X$ — банахово пространство, $Y$ — нормированное пространство, а $\mathcal{M} \subset \mathcal{B}(X, Y)$ — семейство операторов. Если для любого $x \in X$ $\sup_{A \in \mathcal{M}}\left\| A x\right\| \leqslant C(x)$, где константа $C(x)$ зависит только от вектора $x$, то найдётся такая константа $C_{1} > 0$, что $\sup_{A \in \mathcal{M}}\left\| A\right\| \leqslant C_{1}$, т. е. множество $\mathcal{M}$ ограничено в пространстве $\mathcal{B}(X, Y)$.

Пусть $f_{n} \in l_{\infty }$ — последовательность функционалов на пространстве $l_{1}, f_{n}(x) = n x_{n}, n = 1,2, \ldots$ Это семейство функционалов не ограничено в пространстве $l_{\infty } = \left(l_{1}\right)^{*}$, а значит, по теореме Бана-ха-Штейнгауза существует такой вектор $x \in l_{1}$, что $\sup \left|f_{n}(x)\right| = \infty$. Найти такой вектор $x$.

(Е. Хеллингер, О. Тёплиц, 1910). Пусть $A: H \rightarrow H$ — линейный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что если для всех $x, y \in H$ выполнено равенство $(A x, y) = (x, A y)$, то оператор $A$ ограничен. ¹

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства. Доказать, что если билинейная форма $B(x, y)$, определённая на $X \times Y$, непрерывна отдельно по каждому аргументу, то она непрерывна по совокупности аргументов.

Определим оператор

в пространстве $C[-\pi , \pi ]$. Доказать, что $\left\| S_{n}\right\| \rightarrow \infty$. Вывести отсюда, что существует непрерывная функция $x \in C[-\pi , \pi ]$, у которой тригонометрический ряд Фурье расходится в точке $t = 0$.