Базисы

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что оно сепарабельно тогда и только тогда, когда в $X$ существует счётная полная система.

Доказать, что в любом бесконечномерном банаховом пространстве существует линейно независимая система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ (т. е. ни один из векторов системы не является конечной линейной комбинацией остальных), не являющаяся минимальной.

Доказать, что система $\left\{ x_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ векторов нормированного пространства $X$ полна тогда и только тогда, когда она тотальна.

Пусть $\left\{ x_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — система векторов нормированного пространства $X$. Доказать, что она минимальна тогда и только тогда, когда для неё найдётся биортогональная система функционалов $\left\{ f_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$. Доказать, что эти функционалы также образуют минимальную систему в пространстве $X^{*}$.

Привести пример банахова пространства $X$ и минимальной системы $\left\{ f_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty } \subset X^{*}$, для которой не существует биортогональной системы $\left\{ x_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$. Доказать, что в рефлексивном пространстве такой пример невозможен.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что для любой конечной линейно независимой системы функционалов $\left\{ f_{k}\right\}_{k = 1}^{n} \subset X^{*}$ существует биортогональная ей система векторов $\left\{ x_{k}\right\}_{k = 1}^{n} \subset X$ (ср. с задачей 5.4). Доказать, что для любой конечной линейно независимой системы векторов $\left\{ x_{k}\right\}_{k = 1}^{n} \subset X$ существует биортогональная ей система функционалов $\left\{ f_{k}\right\}_{k = 1}^{n} \subset X^{*}$.

Пусть $\left\{ x_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ — полная минимальная система векторов нормированного пространства $X$. Доказать, что биортогональная система $\left\{ f_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ (она существует согласно задаче 10.4) единственна. Доказать, что в случае рефлексивного пространства $X$ система $\left\{ f_{k}\right\}_{k = 1}^{\infty }$ полна в $X^{*}$ (согласно задаче 10.4 она минимальна).

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, оператор $T \in \mathcal{B}(X, Y)$ и $\overline{\operatorname {Im} T} = Y$. Доказать, что полнота системы $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ в $X$ влечёт полноту системы $\left\{ T x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ в $Y$.

Пусть система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ полна в нормированном пространстве $X$ и каждый вектор $x_{k}$ есть конечная линейная комбинация векторов системы $\left\{ y_{k}\right\}_{1}^{\infty }$. Доказать, что система $\left\{ y_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ тоже полна.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, $T \in \mathcal{B}(X, Y)$ и $\inf_{\left\| x\right\| = 1}\left\| T x\right\| = c > 0$. Доказать, что минимальность системы $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ в $X$ влечёт минимальность системы $\left\{ T x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ в $Y$.

Привести пример банахова пространства $X$, инъективного оператора $T \in \mathcal{B}(X)$ и такой минимальной системы $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty } \subset X$, что система $\left\{ T x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ не является минимальной.

Исследовать систему $\left\{ e_{n} = \left(0,0, \ldots , 0, \frac{1}{n}, 0,0, \ldots \right)\right\}_{1}^{\infty }$ на полноту и минимальность в пространствах

Для всякого $\lambda$ с $\left|\lambda \right| < 1$ исследовать систему векторов

на полноту и минимальность в пространствах

Исследовать систему векторов $\left\{ x_{n} = \left(1, \ldots , \frac{1}{n}, 0,0, \ldots \right)\right\}_{1}^{\infty }$ на полноту и минимальность в пространствах

Исследовать следующие системы векторов на полноту и минимальность в пространствах $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty )$, и $C[0,1]$:

Пусть $\left\{ \alpha_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — строго возрастающая последовательность положительных чисел со свойством $\alpha_{n} \rightarrow 1$. Доказать, что система $\left\{ t^{\alpha_{n}}\right\}_{n = 1}^{\infty }$ полна

(Х. Мюнц, 1914). Система степеней $\left\{ t^{n_{k}}\right\}_{k = 0}^{\infty }$, где $n_{0} < n_{1} < \ldots$, полна в пространстве $C[0,1]$ тогда и только тогда, когда $n_{0} = 0$ и $\sum_{k = 1}^{\infty } \frac{1}{n_{k}} = \infty$.

В пространстве $C[0,1]$ привести пример такой неполной системы векторов $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$, что для любой непрерывной функции $x \in C[0,1]$ из равенств $\int_{0}^{1} x(t) x_{n}(t) d t = 0, n = 1,2, \ldots$, следует $x = 0$.

Пусть $X$ — банахово пространство, а система $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ слабо полна в нём, т. е. для любого вектора $x \in X$ существует последовательность $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty } \subset \operatorname {Lin}\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$, слабо сходящаяся к $x$. Доказать, что тогда система $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ полна в $X$ в обычном смысле.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — полная и минимальная система в гильбертовом пространстве $H$, а $\left\{ y_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — биортогональная ей система. Доказать, что если $\left\| x_{n}\right\| = \left\| y_{n}\right\| = 1$ для всех $n \in \mathbb {N}$, то $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — ортонормированный базис в $H$.

Доказать линейность и непрерывность функционалов $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ в определении 10.3.

Определение 10.3. Система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ векторов нормированного пространства $X$ называется базисом Шаудера, если любой вектор $x \in X$ единственным образом раскладывается в ряд по векторам этой системы: $x = \sum_{k = 1}^{\infty } f_{k}(x) x_{k}$.

В каких из пространств $l_{p}, p \in [1, \infty ], c, c_{0}$ система $\left\{ e_{n} = \left(0,0, \ldots , 0, \frac{1}{n}, 0,0, \ldots \right)\right\}_{n = 1}^{\infty }$ является базисом Шаудера?

Пусть система $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Шаудера в рефлексивном пространстве $X$ и $\left\| e_{n}\right\| < C, n = 1,2, \ldots$ Доказать, что $e_{n} \rightharpoonup 0$.

Привести пример такой линейно независимой системы $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ в банаховом пространстве $X$, что любой вектор $x \in X$ раскладывается в ряд $x = \sum_{n = 1}^{\infty } c_{n} e_{n}$ по этой системе, но для некоторых векторов такое разложение не единственно.

Пусть система векторов $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ полна и минимальна в банаховом пространстве $X$, а $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ — биортогональная ей система. Доказать, что система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Шаудера тогда и только тогда, когда последовательность операторов $\left\{ L_{m}\right\}_{1}^{\infty } \subset \mathcal{B}(X)$, где $L_{m} x = \sum_{k = 1}^{m} f_{k}(x) x_{k}$, ограничена (слабо, сильно или по норме — это одно и тоже, см. задачу 7.67) в пространстве $\mathcal{B}(X)$.

Доказать, что в банаховом пространстве $X$ полная и минимальная система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ с биортогональной системой $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ является равномерно минимальной тогда и только тогда, когда

Пусть система векторов $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ банахова пространства $X$ является базисом Шаудера в $X$. Доказать, что она равномерно минимальна.

Доказать, что система $\left\{ t^{n}\right\}_{0}^{\infty }$ не является базисом Шаудера ни в одном из пространств $C[0,1]$ или $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty ]$.

Доказать, что система $\left\{ e^{i n t}\right\}_{-\infty }^{\infty }$ не является базисом Шаудера в пространстве $C_{\text{рег }}[0,2 \pi ]$.

Пусть система векторов $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ полна и минимальна в банаховом пространстве $X$, а $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ — биортогональная система. Доказать, что если $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ есть базис Шаудера в $X^{*}$, то система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Шаудера в пространстве $X$. Привести пример такого базиса Шаудера $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ в банаховом пространстве $X$, что биортогональная система $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ не образует базис Шаудера в $X^{*}$.

Пусть система векторов $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Шаудера в банаховом пространстве $X$, а $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ — биортогональная система. В пространстве $X^{*}$ положим $Y = \overline{\operatorname {Lin}\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }}$. Доказать, что система $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Шаудера в пространстве $Y$. Доказать, что для рефлексивного пространства $X$ справедливо равенство $Y = X^{*}$.

Пусть $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ — базис Шаудера в банаховом пространстве $X$, а $y_{k} = T x_{k}$, где $T \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать, что система $\left\{ y_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Шаудера в $Y$ тогда и только тогда, когда оператор $T$ обратим.

Система $\left\{ \varphi_{k}\right\}_{0}^{\infty }$ Фабера-Шаудера функций на $[0,1]$ определяется равенствами $\varphi_{0}(x) = 1, \varphi_{1}(x) = x, \varphi_{k}(x) = 2\left\| \chi_{k}\right\|_{L_{\infty }} \int_{0}^{x} \chi_{k}(t) d t$, при $k \geqslant 2$, где $\left\{ \chi_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ — система Хаара (см. задачу 3.65). Доказать, что система Фабера-Шаудера является базисом Шаудера в $C[0,1]$.

Доказать, что система Фабера-Шаудера не является минимальной в пространствах $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty )$.

Построить базис Шаудера в пространстве $C^{n}[0,1], n \in \mathbb {N}$.

Доказать, что система Хаара является базисом Шаудера в пространствах $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty )$.

Доказать, что система $\left\{ e^{i n t}\right\}_{-\infty }^{\infty }$ является базисом Шаудера в пространствах $L_{p}[0,2 \pi ], p \in (1, \infty )$.

Доказать, что система $\left\{ e^{i n t}\right\}_{-\infty }^{\infty }$ не является базисом Шаудера в пространстве $L_{1}[0,2 \pi ]$ (см. также задачу 10.29). Доказать, что система $\left\{ \sin (n t)\right\}_{1}^{\infty }$ не является базисом Шаудера в пространствах $L_{1}[0, \pi ]$ и

Доказать, что система $\left\{ e^{i n t}\right\}_{-\infty }^{\infty }$ полна и равномерно минимальна в пространствах $L_{p}[0,2 \pi ], p \in [1, \infty )$, и в пространстве $C_{\text{per }}[0,2 \pi ]$.

Доказать, что система $\left\{ \sin (n t)\right\}_{1}^{\infty }$ полна и равномерно минимальна в пространствах $L_{p}[0, \pi ], p \in [1, \infty )$, и в пространстве $C_{\text{per }}[0, \pi ]$.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — полная минимальная система в банаховом пространстве $X$, а $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — биортогональная система. Для произвольного $N \in \mathbb {N}$ и любого набора $\varepsilon = \left\{ \varepsilon_{n}\right\}_{n = 1}^{N}$ с $\varepsilon_{n} = \pm 1$ положим

Доказать, что система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ является безусловным базисом Шаудера (см. определение 10.4) тогда и только тогда, когда множество операторов $\left\{ B_{N, \varepsilon }\right\}$ ограничено (слабо, сильно или по норме — это одно и то же, см. задачу 7.67) в пространстве $\mathcal{B}(X)$.

Доказать, что если ряд в нормированном пространстве сходится безусловно, то все его перестановки имеют одну и ту же сумму.

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Рассмотрим формальный ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}$, где система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ ортогональна. Доказать, что если ряд сходится, то он сходится безусловно.

Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве ряд сходится безусловно тогда и только тогда, когда он сходится абсолютно.

Привести пример ряда в гильбертовом пространстве, сходящегося безусловно, но не абсолютно.

Привести пример ряда, сходящегося безусловно, но не абсолютно, в пространствах:

Привести пример ряда в $L_{2}[0,1]$, который при некоторой перестановке своих членов сходится к $x(t) \equiv 0$, при другой перестановке — к $x(t) \equiv 1$, но ни при какой перестановке не может сойтись к $x(t) \equiv 1 / 2$.

Доказать, что сумма абсолютно сходящегося ряда в банаховом пространстве не зависит от перестановки членов ряда.

Пусть ряд $\sum_{k = 1}^{\infty } x_{k}$ в банаховом пространстве сходится по Чезаро, т. е. существует $\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{S_{1}+S_{2}+\ldots +S_{n}}{n}$ (где $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} x_{k}$). Доказать, что если $\left\| x_{n}\right\| = o\left(\frac{1}{n}\right)$, то ряд сходится по норме.

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — нормированный базис Шаудера $(\left\| e_{n}\right\| = 1)$ в банаховом пространстве $X$. Определим оператор $A$ на базисе по правилу $A e_{n} = \lambda_{n} e_{n}, n \in \mathbb {N}$, где $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — ограниченная последовательность комплексных чисел. Доказать, что $A$ единственным образом продолжается до линейного ограниченного оператора $\hat{A}$ на всё пространство $X$.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, и $A$ — линейный ограниченный и ограниченно обратимый оператор из $X$ в $Y$. Доказать, что $A$ сохраняет следующие свойства систем векторов: линейную независимость, линейную зависимость, минимальность, равномерную минимальность, полноту, базисность, безусловную базисность.

(М. Г. Крейн, Д. П. Мильман, М. А. Рутман, 1940). Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — базис Шаудера в банаховом пространстве $X,\left\| x_{n}\right\| = 1$ и $\sup_{n \in \mathbb {N}}\left\| P_{n}\right\| = C$, где $P_{n} x = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} x_{k}$ — частичная сумма разложения вектора $x$. Пусть система $\left\{ y_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ векторов в $X$ обладает свойством $\sum_{k = 1}^{\infty }\left\| x_{k}-y_{k}\right\| < C / 2$. Доказать, что $\left\{ y_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ также есть базис Шаудера в $X$.

Доказать, что любая ортонормированная система векторов гильбертова пространства равномерно минимальна.

Доказать теорему 10.2.

Теорема 10.2. Пусть $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ — система векторов гильбертова пространства $H$. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Рисса;

2. существует новое скалярное произведение $\langle x, y\rangle$, эквивалентное стандартному (т. е. нормы $\sqrt{\langle x, x\rangle }$ и $\sqrt{(x, x)}$ эквивалентны) и такое, что система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ является ортонормированным базисом пространства $H$ относительно нового скалярного произведения;

3. система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ полна и обладает свойством Бесселя: существуют такие константы $\gamma_{1}, \gamma_{2} > 0$, что для любого $n \in \mathbb {N}$ и для любых комплексных чисел $\left\{ c_{k}\right\}_{1}^{n}$ выполнено

   $$\gamma _{1}\sum _{k = 1}^{n}\left|c_{k}\right|^{2} \leqslant \left\| \sum _{k = 1}^{n} c_{k} x_{k}\right\| ^{2} \leqslant \gamma _{2}\sum _{k = 1}^{n}\left|c_{k}\right|^{2};$$

4. система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ полна и минимальна и существуют такие константы $\gamma_{1}, \gamma_{2} > 0$, что для любого $x \in H$ выполнено

   $$\gamma _{1}\left\| x\right\| ^{2} \leqslant \sum _{k = 1}^{\infty }\left|(x, x_{k})\right|^{2} \leqslant \gamma _{2}\left\| x\right\| ^{2};$$

5. (Н. К. Бари, 1951) система $\left\{ x_{k}\right\}$ полна и минимальна в $H$ (тогда для неё существует единственная биортогональная система $\left\{ y_{k}\right\}$) и для любого $x \in H$ справедливы неравенства $\sum_{k = 1}^{\infty }\left|(x, y_{k})\right|^{2} < \infty$ и $\sum_{k = 1}^{\infty }\left|(x, x_{k})\right|^{2} < \infty$;

6. (Н. К. Бари, 1951) система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ полна и её матрица Грама $\left((x_{i}, x_{j})\right)_{i,j = 1}^{\infty }$ порождает в пространстве $l_{2}$ ограниченный и обратимый оператор;

7. система $\left\{ x_{k}\right\}$ является безусловным базисом Шаудера и почти нормирована, т. е. существуют такие константы $\gamma_{1}, \gamma_{2} > 0$, что справедливы неравенства $\gamma_{1} \leqslant \left\| x_{k}\right\| \leqslant \gamma_{2}, k = 1, 2, \ldots$

(В случае, когда константы $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ в пункте (3) этой теоремы равны 1, система превращается в ортонормированный базис; см. теорему 3.2.)

Пусть система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ образует базис Рисса в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что биортогональная ей система также является базисом Рисса.

Доказать, что система $\left\{ \sin^{2}(n t)\right\}_{1}^{\infty }$ не образует базис Рисса в пространстве $L_{2}[0, \pi / 2]$.

Доказать, что система $\left\{ \sin^{2}(n t)\right\}_{1}^{\infty } \cup \left\{ 1\right\}$ образует базис Рисса в пространстве $L_{2}[0, \pi / 2]$.

Доказать, что система $\left\{ \sin (2 n t), t \cos (2 n t)\right\}_{0}^{\infty }$ образует базис Рисса в пространстве $L_{2}[0, \pi ]$.

(М. И. Кадец, 1964). Пусть $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — последовательность вещественных чисел со свойством $\left|\lambda_{n}-n\right| < 1 / 4$ для любого $n \in \mathbb {Z}$. Доказать, что система $\left\{ e^{i n t}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ является базисом Рисса в пространстве $L_{2}[0, \pi ]$.

(К. И. Бабенко, 1948). Доказать, что система $\left\{ \left|t\right|^{\alpha } e^{i \pi n t}\right\}_{-\infty }^{\infty }$ является базисом Шаудера, но не является базисом Рисса в пространстве $L_{2}[-1,1]$, если $\left|\alpha \right| < 1 / 2, \alpha \neq 0$.

Доказать, что система многочленов Чебышёва $T_{n}(t) = \cos (n \arccos t), n = 0,1, \ldots$, не образует базис Рисса в пространстве $L_{2}[-1,1]$.

Пусть $p(t) \geqslant 0$ — суммируемая на отрезке $[0,1]$ функция. В гильбертовом пространстве $L_{2}([0,1], p(t) d t)$ рассмотрим произвольный ортогональный базис $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$. Доказать, что эта система образует базис Рисса в пространстве $L_{2}[0,1]$ (с обычной мерой Лебега) тогда и только тогда, когда $\underset {t \in [0,1]}{\operatorname {ess} \sup } p(t) < \infty$ и $\underset {t \in [0,1]}{\operatorname {ess} \inf } p(t) > 0$.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — базис Рисса в пространстве $L_{2}\left(M_{1}, \mu_{1}\right)$, $\left\{ y_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — базис Рисса в пространстве $L_{2}\left(M_{2}, \mu_{2}\right)$. Доказать, что система $\left\{ x_{n} \cdot y_{m}\right\}_{m, n = 1}^{\infty }$ образует базис Рисса в $L_{2}\left(M_{1} \times M_{2}, \mu_{1} \times \mu_{2}\right)$ (ср. с задачей 3.66).

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — ортонормированный базис в гильбертовом пространстве $H$. Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — система векторов в $H$, для которой $\sum_{n = 1}^{\infty }\left\| x_{n}-e_{n}\right\|^{2} < 1$. Доказать, что система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Рисса.