Банк задач по математике

Задача 2.89

(а)(б)(в)(г)

Доказать, что множество финитных последовательностей:

?

(а)

плотно в пространстве $l_{p}, p \in [1, \infty )$ ;

(б)

плотно в пространстве $c_{0}$ ;

(в)

не плотно в пространстве $c$ ;

(г)

не плотно в пространстве $l_{\infty }$ .

Задача 2.90

Доказать, что множество многочленов:

?

(а)

плотно в пространстве $C[0,1] ;$

(б)

плотно в пространстве $C^{n}[0,1]$ ;

(в)

плотно в пространстве $C_{p}[0,1]$ , где $p \in [1, \infty ) ;$

(г)

плотно в пространстве $C_{p}^{n}[0,1]$ , где $n = 1,2, \ldots$ , а $p \in [1, \infty )$ ;

(д)

не плотно в пространстве $L_{\infty }[0,1]$ ;

(е)

не плотно в пространстве $B V[0,1]$ .

Задача 2.91

Пусть $\mu$ — произвольная конечная мера на некоторой $\sigma$ -алгебре $\Sigma$ подмножеств отрезка $[0,1]$ . Доказать, что множество многочленов плотно в пространствах $L_{p}([0,1], \Sigma , \mu ), p \in [1, \infty )$ .

?

Задача 2.92

Доказать, что множество кусочно-линейных функций:

?

(а)

плотно в пространстве $C[0,1]$ ;

(б)

плотно в пространстве $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty )$ ;

(в)

плотно в пространстве $W_{p}^{1}[0,1], p \in [1, \infty )$ ;

(г)

не плотно в пространстве $L_{\infty }[0,1]$ ;

(д)

не плотно в пространстве $B V[0,1]$ .

Задача 2.93

В пространстве $C[0,1]$ для произвольного натурального $n$ рассмотрим множество функций $F_{n} = \left\{ x \in C[0,1]: \exists t_{0} \in [0,1] \forall t \in [0,1]\left|x(t)-x\left(t_{0}\right)\right| \leqslant n\left|t-t_{0}\right|\right\}$ . Доказать, что $F_{n}$ нигде не плотно.

?

Задача 2.94

Пусть нормированные пространства $X_{1}$ и $X_{2}$ изоморфны. Доказать, что они либо оба сепарабельны, либо оба не сепарабельны.

?

Задача 2.95

Пусть $(X,\left\| \cdot \right\| )$ — сепарабельное нормированное пространство, а $X_{0}$ — его линейное подпространство. Доказать, что пространство $(X_{0},\left\| \cdot \right\| )$ сепарабельно.

?

Задача 2.96

Доказать, что если в нормированном пространстве найдётся несчётная система непересекающихся единичных шаров, то пространство несепарабельно.

?

Задача 2.97

Счётно ли множество $M = \left\{ x \in l_{1}: x_{n} \in \mathbb {Q} \text{ для всех } n \in \mathbb {N}\right\}$ ?

?

Задача 2.98

Определить, какие из следующих пространств сепарабельны:

?

(а)

$l_{p}(n), p \in [1, \infty ], n \in \mathbb {N}$ ;

(б)

$l_{p}, p \in [1, \infty )$ ;

(в)

$c_{0}$ и $c$ ;

(г)

$l_{\infty }$ ;

(д)

$C[0,1]$ ;

(е)

$C^{n}[0,1], n \in \mathbb {N}$ ;

(ж)

$\mathcal{P}_{n}[0,1]$ ;

(з)

$C_{p}[0,1], p \in [1, \infty )$ ;

(и)

$W_{p}^{n}[0,1], n \in \mathbb {N}, p \in [1, \infty )$ ;

(к)

$\mathcal{P}[0,1] ;$

(л)

$L_{p}[0,1], p \in [1, \infty )$ ;

(м)

$L_{\infty }[0,1]$ ;

(н)

$B V[0,1]$ и $B V_{0}[0,1]$ ;

(о)

$\mathcal{A C}(D)$ ;

(п)

$L_{p}([0,1], \Sigma , \mu ), p \in [1, \infty )$ , мера $\mu$ конечна;

(р)

$L_{p}(\mathbb {R}, \Sigma , \mu ), p \in [1, \infty )$ , мера $\mu \sigma$ -конечна.

Сепарабельность нормированных пространств