Отображения метрических пространств

Пусть на множестве $X$ введены две метрики $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$. Доказать, что $\rho_{1} \prec \rho_{2}$ тогда и только тогда, когда отображение $f:\left(X, \rho_{2}\right) \rightarrow \left(X, \rho_{1}\right), f(x) = x$, непрерывно. Доказать, что $\rho_{1} \sim \rho_{2}$ тогда и только тогда, когда $f$ — гомеоморфизм.

Пусть $X$ — метрическое пространство, $M \subset X$ — произвольное непустое множество. Доказать, что отображение $f: x \mapsto \operatorname {dist}(x, M)$ из $X$ в $\mathbb {R}$ непрерывно.

Пусть $X$ и $Y$ — метрические пространства, а $f: X \rightarrow Y$ непрерывное сюръективное отображение. Доказать, что если $M$ всюду плотное в $X$ множество, то его образ $f(M)$ — всюду плотное множество в $Y$.

Привести пример непрерывной, но не ограниченной на некотором шаре функции $f: X \rightarrow \mathbb {R}$, где $X$ — полное метрическое пространство.

В полных метрических пространствах привести примеры локально равномерно непрерывного отображения, не являющегося равномерно непрерывным, и непрерывного, но не локально равномерно непрерывного отображения.

Пусть $X = \operatorname {discr}(M)$. Доказать, что изометричное вложение $f: X \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ существует тогда и только тогда, когда пространство $X$ содержит не более чем $n+1$ точку.

Доказать, что метрические пространства $\mathbb {R}$ и вещественное $l_{2}(2)$ не гомеоморфны.

Доказать, что вещественные метрические пространства $l_{2}(2)$ и $l_{\infty }(2)$ гомеоморфны, но не изометричны.