Преобразование Фурье обычных функций

Пусть функция $f \in L_{1}(\mathbb {R})$. Доказать, что:

Найти преобразование Фурье характеристической функции $\chi_{[a, b]}(x)$ отрезка $[a, b]$.

Доказать свойство (1) преобразования Фурье: $\hat{F}$ является непрерывным оператором из $L_1(\mathbb {R})$ в $C_0(\mathbb {R})$, при этом $\left\| \hat{F}\right\| = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}$

Привести пример функции $f \in L_{1}(\mathbb {R})$, для которой $\hat{f} \notin L_{1}(\mathbb {R})$.

Доказать, что если $f \in L_{1}(\mathbb {R})$ и $\hat{f} \equiv 0$, то $f = 0$.

Привести пример последовательности функций $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset L_{1}(\mathbb {R})$ со свойствами $\left\| f_{n}\right\|_{L_{1}(\mathbb {R})} = 1, n = 1,2, \ldots$, и $\left\| \hat{f}_{n}\right\|_{C_{0}(\mathbb {R})} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$.

Привести пример функции $g \in C_{0}(\mathbb {R})$, которая не является преобразованием Фурье никакой функции из $L_{1}(\mathbb {R})$.

Доказать свойство (3) преобразования Фурье. Доказать, что если $f(x), x f(x), \ldots , x^{n} f(x) \in L_{1}(\mathbb {R})$, то $\hat{f} \in C^{n}(\mathbb {R})$ и $\hat{F} M^{n} = D^{n} \hat{F}$.

Доказать свойство (4) преобразования Фурье. Доказать, что если $f \in L_{1}(\mathbb {R}) \cap C^{n}(\mathbb {R})$ и $f^{(j)} \in L_{1}(\mathbb {R}), j = 1,2, \ldots , n$, то $\hat{f}(y) = o\left(\frac{1}{\left|y\right|^{k}}\right)$ при $\left|y\right| \rightarrow \infty$ и $\hat{F} D^{n} = (-1)^{n} M^{n} \hat{F}$.

Доказать свойство (5) преобразования Фурье.

Доказать свойство (6) преобразования Фурье.

Доказать свойство (2) преобразования Фурье: $\hat{F}$ является изоморфизмом пространства $\mathcal{S}$ на себя, причём $\hat{F}^{-1}\hat{F} = I$.

Пусть существует такое положительное число $a$, что $e^{a\left|x\right|}. f \in L_{1}(\mathbb {R})$. Доказать, что $\hat{f}(y)$ продолжается до функции $\tilde{f}(z)$, аналитической в полосе $\left|\operatorname {Im} z\right| < a$.

Пусть функция $\varphi \in \mathcal{D}$ имеет носитель $\operatorname {supp} \varphi \subset [-a, a]$. Доказать, что её преобразование Фурье $\hat{\varphi }$ продолжается до целой (аналитической во всей комплексной плоскости) функции комплексного переменного $z = s+i t$, удовлетворяющей при каждом $n = 0,1,2, \ldots$ неравенству $\left|z\right|^{n}\left|\hat{\varphi }(z)\right| \leqslant C(\varphi , n) e^{a\left|t\right|}$.

Пусть целая функция $\psi$ комплексного переменного $z = s+$ it удовлетворяет при каждом $n = 0,1,2, \ldots$ неравенству

Тогда существует такая функция $\varphi \in \mathcal{D}$, что $\operatorname {supp} \varphi \subset [-a, a]$ и $\hat{\varphi } = \psi$.

Доказать, что $\psi_{k} \rightarrow 0$ в $\mathcal{Z}$ тогда и только тогда, когда выполнены два свойства:

1. $\left|z\right|^{n}\left|\psi_{k}(z)\right| \leqslant C(n) e^{a\left|\operatorname {Im} z\right|}$ с постоянными $C(n)$ и $a > 0$, не зависящими от $k$;

2. $\psi_{n} \rightrightarrows 0$ на любом интервале $[\alpha , \beta ] \in \mathbb {R}$.

Пусть у функции $f$ равны нулю все степенные моменты:

Следует ли отсюда, что $f \equiv 0$, если:

Доказать, что для всякого множества $A \subset \mathbb {R}$ положительной меры найдется такая функция $f \in L_{1}(\mathbb {R})$ с носителем на $A$, что функция $\hat{f}$ не имеет нулей на действительной оси.

Существует ли функция $f$ с носителем на отрезке

Доказать, что для любых функций $f, g \in \mathcal{S}$ справедливо равенство Парсеваля: $(\hat{f}, \hat{g})_{L_{2}(\mathbb {R})} = (f, g)_{L_{2}(\mathbb {R})}$.

Найти преобразование Фурье следующих функций (параметр $a$ всюду предполагается положительным):

Для функций $\varphi \in \mathcal{D}$ доказать формулу суммирования Пуассона (ср. с задачей 16.48):

Доказать, что в пространствах $\mathcal{S}$ и $L_{2}(\mathbb {R})$ справедливы тождества:

Доказать, что функции Чебышёва-Эрмита $H_{n}(x) e^{-x^{2} / 2}$, получаемые из функций $x^{n} e^{-x^{2} / 2}, n = 0,1,2 \ldots$, процессом ортогонализации в $L_{2}(\mathbb {R})$, являются собственными функциями оператора преобразования Фурье в $L_{2}(\mathbb {R})$, и найти соответствующие собственные значения.

Найти спектр оператора преобразования Фурье в $L_{2}(\mathbb {R})$.

Пусть функция $f \in L_{2}(\mathbb {R})$ почти всюду отлична от нуля и существует такое положительное число $a$, что $e^{a\left|x\right|} \cdot f \in L_{2}(\mathbb {R})$. Доказать, что система функций $\left\{ x^{n} f\right\}_{n = 0}^{\infty }$ полна в $L_{2}(\mathbb {R})$.

Доказать, что функции Чебышёва-Эрмита образуют полную ортонормированную систему в $L_{2}(\mathbb {R})$ (ср. с задачей 3.55).

Доказать утверждение задачи 3.54 с использованием преобразования Фурье.

Доказать, что пространство Соболева $W_{2}^{n}(\mathbb {R})$ изометрически изоморфно пространству $\left\{ f \in L_{2}(\mathbb {R}):|\lambda |^{n} \hat{f}(\lambda ) \in L_{2}(\mathbb {R})\right\}$.

Доказать, что всякая функция из пространства $W_{2}^{n}(\mathbb {R})$ ограничена.

(Р. Пэли, Н. Винер, 1934). Доказать, что функция $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ является преобразованием Фурье некоторой функции $f \in L_{2}(\mathbb {R})$ с $\operatorname {supp} f \subseteq [-a, a]$ тогда и только тогда, когда $g \in L_{2}(\mathbb {R})$ и $g$ является сужением на $\mathbb {R}$ целой функции $g(z)$, удовлетворяющей неравенству $\left|g(z)\right| \leqslant C e^{a\left|\operatorname {Im} z\right|}$ при всех $z \in \mathbb {C}$.

Доказать, что для функций $f$ и $g$ из задачи 17.31 имеет место равенство

где ряд сходится в $L_{2}[-a, a]$.

(В. А. Котельников, 1933). Доказать, что функция $g$ из задачи 17.31 удовлетворяет равенству

где ряд в правой части равенства сходится в $L_{2}(\mathbb {R}).$¹