Пространство операторов

Доказать теорему 6.1.

Пусть $X, Y$ и $Z$ — нормированные пространства, $A \in \mathcal{B}(Y, Z)$, $B \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать неравенство $\left\| A B\right\| \leqslant \left\| A\right\| \cdot \left\| B\right\|$. Доказать, что если один из операторов $A$ или $B$ является изометрическим изоморфизмом соответствующих пространств, то $\left\| A B\right\| = \left\| A\right\| \cdot \left\| B\right\|$. Привести пример банахова пространства $X$ и операторов $A$ и $B$ из $\mathcal{B}(X)$ таких, что $\left\| A B\right\| < \left\| A\right\| \cdot \left\| B\right\|$.

Доказать, что пространство $C[0,1]$ с обычной операцией умножения функций является унитальной коммутативной банаховой алгеброй.

Доказать, что для произвольного банахова пространства $X$ множество ограниченных операторов $\mathcal{B}(X)$ является унитальной некоммутативной (если $\operatorname {dim} X > 1$) банаховой алгеброй относительно операции суперпозиции.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, оператор $A \in \mathcal{B}(X, Y)$. Какие из следующих утверждений выполнены для любого оператора $A \in \mathcal{B}(X, Y)$?

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, $X_{0}$ — замкнутое подпространство в $X$. Положим

Является ли $M$ замкнутым подпространством в $\mathcal{B}(X, Y)$?

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, $X_{0}$ — замкнутое подпространство в $X$. Положим

Является ли $M$ замкнутым подпространством в $\mathcal{B}(X, Y)$?

Пусть $X$ — нормированное пространство, $A$ — фиксированный оператор из $\mathcal{B}(X)$. Положим $M = \left\{ B \in \mathcal{B}(X): A B = 0\right\} , N = \left\{ B \in \mathcal{B}(X): A B = B A\right\}$. Доказать, что $M$ и $N$ являются замкнутыми подпространствами в $\mathcal{B}(X)$.

Пусть $H$ — бесконечномерное гильбертово пространство. Доказать, что пространство $\mathcal{B}(H)$ не сепарабельно.

Доказать, что пространство $\mathcal{B}\left(l_{p}\right), p \in [1, \infty ]$, не сепарабельно.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, причём $Y = Y_{1} \oplus \oplus Y_{2}$ — прямая сумма двух замкнутых подпространств. Доказать, что $\mathcal{B}(X, Y) = \mathcal{B}\left(X, Y_{1}\right) \oplus \mathcal{B}\left(X, Y_{2}\right)$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $\left\{ P_{n}\right\}_{1}^{\infty } \in \mathcal{B}(X)$, причём все операторы $P_{n}$ являются операторами проектирования и $P_{n} \rightrightarrows P$. Обязательно ли $P$ — оператор проектирования?

Пусть $X$ — банахово пространство, $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset \mathcal{B}(X)$, причём все операторы $A_{n}$ являются операторами с одинаковым конечным рангом: $\operatorname {rank} A_{n} = r < \infty$ и $A_{n} \rightrightarrows A$. Верно ли, что rank $A \leqslant r$?

В пространстве $X$, где $X$ — это $c_{p}$ или $l_{p}, p \in [1, \infty ]$, рассмотрим последовательность $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ операторов умножения на последовательности $\lambda_{n} \in l_{\infty }$. Доказать, что последовательность $\left\{ A_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ имеет предел в пространстве $\mathcal{B}(X)$ тогда и только тогда, когда последовательность $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ имеет предел в пространстве $l_{\infty }$. Доказать, что в случае, когда предел $A = \lim_{n \rightarrow \infty } A_{n}$ существует, он также равен оператору умножения на последовательность $\lambda = \lim_{n \rightarrow \infty } \lambda_{n}$.

В пространстве $X$, где $X$ — это $c_{0}$, с или $l_{p}, p \in [1, \infty ]$, pacсмотрим две последовательности операторов $\left\{ T_{r}^{n}\right\}_{1}^{\infty }$ и $\left\{ T_{l}^{n}\right\}_{1}^{\infty }$ :

• операторы правого и левого сдвига. Доказать, что обе эти последовательности не имеют предела в пространстве $\mathcal{B}(X)$.