Оператор свёртки в $L^2(\mathbb{R})$

Доказать, что оператор свёртки $S_{f}$ в $L_{2}(\mathbb {R})$ унитарно эквивалентен оператору умножения на функцию $\sqrt{2 \pi } \hat{f}: \hat{F} S_{f} \hat{F}^{-1} h = \sqrt{2 \pi } \hat{f} h$ для любой функции $h \in L_{2}(\mathbb {R})$.

Найти спектр оператора свёртки с функцией $e^{-\left|x\right|}$ в $L_{2}(\mathbb {R})$.

Найти спектр оператора $A: L_{2}(\mathbb {R}) \rightarrow L_{2}(\mathbb {R})$ следующего вида:

Является ли этот оператор компактным?

Найти спектр оператора Гильберта в $L_{2}(\mathbb {R})$ :

(Н. Винер, 1933). Пусть $f \in L_{2}(\mathbb {R})$. Доказать, что система $\left\{ f(x-a): a \in \mathbb {R}\right\}$ сдвигов этой функции полна в $L_{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда мера множества $\left\{ y \in \mathbb {R}: \hat{f}(y) = 0\right\}$ равна нулю.