Сопряжённые операторы в банаховом пространстве

Доказать теорему 8.1.

Теорема 8.1 (Ф. Рисс, 1910): норма оператора $A^{\prime }$ совпадает с нормой оператора $A$, т. е. операция сопряжения сохраняет норму.

Пусть $X, Y, Z$ — нормированные пространства, $A, B \in \mathcal{B}(X, Y)$, $C \in \mathcal{B}(Y, Z), \alpha , \beta \in \mathbb {C}$. Доказать, что

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ и последовательность $g_{n} \stackrel{*}{\rightharpoonup } g$ в $Y^{*}$. Доказать, что $A^{\prime } g_{n} \stackrel{*}{\rightharpoonup } A^{\prime } g$ в $X^{*}$.

Найти сопряжённые операторы в следующих случаях.

Найти сопряжённый оператор $A^{\prime }$ для оператора $A$ в пространствах $l_{p}, p \in [1, \infty )$, и $c_{0}$ :

Найти сопряжённый оператор $A^{\prime }$ для следующих операторов $A$ :

Найти сопряжённый оператор $A^{\prime }$ для оператора $A$ в пространстве $C[a, b]:(A x)(t) = \sum_{i = 1}^{n} \alpha_{i}(t) f_{i}(x)$, где $\alpha_{i} \in C[a, b]$, $f_{i} \in (C[a, b])^{*}$, $f_{i}(x) = \int_{a}^{b} x(t) d w_{i}(t), w_{i} \in B V_{0}[0,1]$.

Пусть оператор $S$ в $c_{0}^{*} = l_{1}$ задан формулой $S:\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \right) \mapsto \left(\sum_{k = 1}^{\infty } x_{k}, x_{2}, x_{3}, \ldots \right)$. Доказать, что $S$ является линейным изоморфизмом в $l_{1}$, но не является сопряжённым ни для какого оператора $T \in \mathcal{B}\left(c_{0}\right)$.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$. Обозначим канонические вложения $\pi_{X}: X \hookrightarrow X^{* *}, \pi_{Y}: Y \hookrightarrow Y^{* *}$. Доказать, что $A^{\prime \prime } \circ \pi_{X} = \pi_{Y} \circ A$.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать, что

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать, что $(\operatorname {Im} A)^{\perp } = \operatorname {Ker} A^{\prime }$, а $(\operatorname {Ker} A)^{\perp } \supseteq \overline{\operatorname {Im} A^{\prime }}$ (напомним, что для произвольного множества $M \subset X$ множество $M^{\perp } = \left\{ f \in X^{*}: f(x) = 0 \text{ для всякого } x \in M\right\}$). Привести пример, когда последнее включение строгое.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать, что если $A$ — сюръекция, то $(\operatorname {Ker} A)^{\perp } = \operatorname {Im} A^{\prime }$.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать, что $\left(\operatorname {Im} A^{\prime }\right)^{\perp } = \operatorname {Ker} A,\left(\operatorname {Ker} A^{\prime }\right)^{\perp } = \overline{\operatorname {Im} A}$ (здесь для множества $M \subset X^{*}$ обозначено $M^{\perp } = \left\{ x \in X: f(x) = 0\text{ для всякого }f \in M\right\}$).

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A_{n} \xrightarrow {s} A$ в $\mathcal{B}(X, Y)$. Сходится ли последовательность $\left\{ A_{n}^{\prime }\right\}_{n = 1}^{\infty }$ сильно к $A^{\prime }$ в $\mathcal{B}\left(Y^{*}, X^{*}\right)$? Сходится ли она слабо? Ответьте на те же вопросы при условии рефлексивности $X$ или $Y$.