Банк задач по математике

Задача 5.67

Доказать, что если $X$ — рефлексивное пространство, то для любого функционала $f \in X^{*}$ существует такой элемент $x \in X$ , что $\left\| x\right\| = 1$ и $f(x) = \left\| f\right\|$ (необходимость в теореме Джеймса).

?

Задача 5.68

Доказать, что каноническое вложение $\pi : X \rightarrow X^{* *}$ является изометрией.

?

Задача 5.69

Доказать нерефлексивность пространств:

?

(а)

$C[a, b]$ ;

(б)

$C^{n}[0,1], n = 1,2, \ldots$ ;

(в)

$l_{1}$ ;

(г)

$c_{0}$ ;

(д)

$c$ ;

(е)

$L_{1}[a, b]$ .

Задача 5.70

Доказать, что если пространство $X$ рефлексивно, то и $X^{*}$ рефлексивно.

?

Задача 5.71

(а)(б)

Доказать нерефлексивность пространств:

?

(а)

$l_{\infty }$ ;

(б)

$L_{\infty }[0,1]$ .

Задача 5.72

Доказать, что любое конечномерное нормированное пространство и любое гильбертово пространство рефлексивно.

?

Задача 5.73

(а)(б)

Доказать рефлексивность пространств:

?

(а)

$l_{p}, p \in (1, \infty )$ ;

(б)

$L_{p}[0,1], p \in (1, \infty )$ .

Задача 5.74

Доказать, что если $X$ — банахово пространство и $X^{*}$ рефлексивно, то $X$ также рефлексивно.

?

Задача 5.75

Доказать, что не существует такого банахова пространства $X$ , что $X^{*} = c_{0}$ .

?

Задача 5.76

Доказать, что банахово пространство $X$ рефлексивно тогда и только тогда, когда всякое замкнутое подпространство $Y \subset X$ коразмерности 1 является подпространством существования (ср. с задачей 14.127).

?

Задача 5.77

Привести пример банахова пространства $X$ и замкнутого подпространства $Y \subset X$ , которое не является подпространством существования (сравните с задачей 5.22).

?

Задача 5.78

(а)(б)(в)(г)

Пусть $M$ — произвольное множество в нормированном пространстве $X$ .

?

(а)

Доказать, что $M^{\perp }$ — замкнутое подпространство в $X^{*}$ .

(б)

Доказать, что множество $\left\{ x \in X: f(x) = 0 \text{ для любого } f \in M^{\perp }\right\}$ совпадает с $\overline{\operatorname {Lin}(M)}$ .

(в)

Доказать, что если $M$ — замкнутое линейное подпространство в рефлексивном пространстве $X$ , то $\left(M^{\perp }\right)^{\perp } = M$ .

(г)

Доказать, что если $M$ — линейное подпространство в $X$ , то $\operatorname {dim}\left(M^{\perp }\right) = \operatorname {codim} M$ .

Задача 5.79

Найти множество $M^{\perp }$ , если:

?

(а)

$M = B(x, r)$ в нормированном пространстве $X$ ;

(б)

$M = \left\{ x \in C[-1,1]: x(t) = 0\text{ для любого }t < 0\right\}$ в пространстве С $[-1,1]$ ;

(в)

$M = \left\{ x \in C[0,1]: x(0) = 0\right\}$ в пространстве $C[0,1]$ ;

(г)

$M = \left\{ x \in L_{1}[0,1]: x \text{ непрерывна в точке } a \text{ и } x(a) = 0\right\}$ в пространстве $L_{1}[0,1]$ ;

(д)

$M = \left\{ x \in L_{1}[-1,1]: x(t) = x(-t) \text{ для любого } t \in [-1,1]\right\}$ в пространстве $L_{1}[-1,1]$ ;

(е)

множество $M$ есть множество всех многочленов в пространстве $C[0,1]$ ;

(ж)

множество $M$ в пространстве $C[0,1]$ есть множество всех многочленов $p$ таких, что $p(0) = 0$ ;

(з)

$M = \left\{ x \in C[0,1]: x(t) \geqslant 0\text{ для любого }t \in [0,1]\right\}$ в пространстве $C[0,1]$ над полем $\mathbb {R}$ ;

(и)

$M = \left\{ x \in C[0,1]: x(a) \geqslant x(b)\text{ для любого }a > b\right\}$ в пространстве $C[0,1]$ над полем $\mathbb {R}$ ;

(к)

$M = \left\{ x \in L_{3}[-1,1]: \int_{0}^{1} x(t) d t = 0\right\}$ в пространстве $L_{3}[0,1]$ ;

(л)

$M = c_{00}$ в пространстве $c_{0}$ ;

(м)

$M = c_{0}$ в пространстве $c$ ;

(н)

$M = \left\{ x \in l_{1}: x_{1} > x_{2} > x_{3} > \ldots \right\}$ в пространстве $l_{1}$ над полем $\mathbb {R}$ ;

(о)

$M = \left\{ x = \left(\lambda , \lambda^{2}, \lambda^{3}, \ldots \right): \lambda \in \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots \right\} \right\}$ в пространстве с.

Задача 5.80

Пусть $Y$ — линейное подпространство нормированного пространства $X$ . Доказать, что для любого элемента $x \in X$ справедливо равенство $\operatorname {dist}(x, Y) = \max \left\{ f(x): f \in Y^{\perp },\left\| f\right\| = 1\right\}$ .

?

Задача 5.81

Привести пример нормированного пространства $X$ , замкнутого подпространства $Y$ в $X^{*}$ и линейного непрерывного функционала $f_{0} \notin Y$ таких, что для всякого вектора $x \in X$ из равенств $f(x) = 0$ для любого $f \in Y$ следует $f_{0}(x) = 0$ (замкнутое подпространство $Y$ и функционал $f_{0}$ нельзя отделить с помощью вектора). Доказать, что в рефлексивном пространстве обязательно найдётся такой вектор $x_{0} \in X$ , что $f\left(x_{0}\right) = 0$ для любого $f \in Y$ , но $f_{0}\left(x_{0}\right) \neq 0$ (сравните с задачей 5.37).

?

Второе сопряжённое пространство. Рефлексивность