Пространства пробных (основных) функций

Доказать, что финитная функция

бесконечно дифференцируема на действительной оси (мы будем называть эту функцию «шапочкой»).

Доказать, что для любого $\delta > 0$ существует функция $\varphi_{\delta } \in \mathcal{D}$ со свойствами: $\operatorname {supp} \varphi_{\delta } = [-1-\delta , 1+\delta ]$, $\varphi_{\delta }(t) \in [0,1]$ при всех $t$, $\varphi_{\delta }(t) = 1$ при $t \in [-1,1]$ (мы будем называть эту функцию «шляпой»).

Доказать, что функция $\varphi \in \mathcal{D}$ является производной некоторой другой функции из $\mathcal{D}$ тогда и только тогда, когда

Доказать, функция $\varphi \in \mathcal{D}$ удовлетворяет равенству $\varphi (0) = 0$ тогда и только тогда, когда $\varphi (t) = t \cdot \psi (t)$, где $\psi$ — некоторая другая функция из $\mathcal{D}$.

Привести примеры функций $\varphi \in \mathcal{S} \backslash \mathcal{D}$ и $\psi \in \mathcal{E} \backslash \mathcal{S}$.

Каким из пространств $\mathcal{E}, \mathcal{S}, \mathcal{D}$ принадлежат функции

Доказать, что для любой числовой последовательности $\left\{ a_{n}\right\}_{0}^{\infty }$ найдётся такая функция $\varphi \in \mathcal{D}$, что $\varphi^{(n)}(0) = a_{n}$ при всех $n = 0,1,2, \ldots$

Пусть $\varphi \in C^{\infty }[a, b]$ (в концах отрезка требуется существование соответствующих односторонних производных любого порядка). Доказать, что существует функция $\psi \in \mathcal{D}$ такая, что $\left.\psi \right|_{[a, b]} \equiv \varphi$.

Доказать, что любую функцию $\psi \in \mathcal{E}$ можно представить в виде ряда $\psi = \sum_{k = 1}^{\infty } \varphi_{k}$, где все $\varphi_{k} \in \mathcal{D}$ и каждая точка $t \in \mathbb {R}$ принадлежит лишь конечному числу носителей $\operatorname {supp} \varphi_{k}$.

Существует ли такая функция $\varphi \in \mathcal{D}$, что $\operatorname {supp} \varphi \subset [0, \infty )$ и при этом сама функция $\varphi$ и все её производные положительны на интервале $(0,1)$?

Доказать, что следующие полунормы являются допустимыми на $\mathcal{D}$ :

Пусть $p$ — допустимая полунорма на $\mathcal{D}$. Доказать, что следующие выражения являются допустимыми полунормами:

Привести пример полунормы, определённой на всём пространстве $\mathcal{D}$ и не являющейся допустимой.

Доказать, что следующие три системы полунорм в $\mathcal{S}$ эквивалентны (т. е. задают одну и ту же топологию):

Зададим систему полунорм $\mathcal{P}^{\prime }$ на пространстве $\mathcal{D}$ следующим образом: $\mathcal{P}^{\prime } = \left\{ p_{\alpha , c}\right\}$, где $\alpha = \left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \right)$ — произвольная последовательность неотрицательных целых чисел, $c = \left(c_{1}, c_{2}, \ldots \right)$ — произвольная последовательность положительных чисел, а $p_{\alpha , c}(\varphi ): = : = \sum_{m = 1}^{\infty } c_{m} p_{m, \alpha_{m}}(\varphi )$, где $p_{m, k}(\varphi ) = \max_{\substack {0 \leqslant j \leqslant k, m-1 \leqslant \left|t\right| \leqslant m}}\left|\varphi^{(j)}(t)\right|$. Доказать, что системы $\mathcal{P}$ и $\mathcal{P}^{\prime }$ эквивалентны.

Доказать теорему 15.1.

Доказать, что если множество $M \subset \mathcal{D}$ ограничено по каждой из допустимых полунорм, то носители всех функций из $M$ расположены на одном и том же отрезке и множество $M$ секвенциально предкомпактно в $\mathcal{D}$ : из любой содержащейся в нём последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Найти предел (или доказать расходимость) последовательностей в пространстве $\mathcal{E}$ :

Пусть $\varphi_{0} \in \mathcal{D}$ — ненулевая функция. Найти предел (или доказать расходимость) последовательностей в пространстве $\mathcal{D}$ :

Привести пример последовательности финитных функций, которая сходится в $\mathcal{E}$, но не сходится в $\mathcal{S}$.

Привести пример последовательности финитных функций, которая сходится в $\mathcal{S}$, но не сходится в $\mathcal{D}$.

Доказать, что пространства $\mathcal{E}$ и $\mathcal{S}$ метризуемы (и, более того, являются пространствами Фреше), а пространство $\mathcal{D}$ не метризуемо.

Доказать, что естественные вложения $\mathcal{D} \subset \mathcal{S} \subset \mathcal{E}$ непрерывны.

Показать, что:

Доказать, что $\mathcal{D}$ плотно в каждом из пространств

Доказать, что множество всех многочленов плотно в $\mathcal{E}$.

Доказать, что для любой функции $\varphi \in \mathcal{D}$ и любой другой функции $\psi \in \mathcal{D}$, не равной нулю ни в одной точке из $\operatorname {supp} \varphi$, найдётся такая последовательность многочленов $p_{n}$, что $\psi p_{n} \rightarrow \varphi$ в $\mathcal{D}$.

Доказать, что пространство $\mathcal{D}$ сепарабельно.

Доказать, что оператор дифференцирования непрерывен в каждом из пространств $\mathcal{D}, \mathcal{S}, \mathcal{E}$.

Пусть $\alpha : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — бесконечно гладкая функция. При каких условиях на функцию $\alpha$ оператор $\varphi \longmapsto \alpha \varphi$ непрерывен

Доказать непрерывность оператора интегрирования

действующего в пространстве $\mathcal{D}$ и определённого на подпространстве $\mathcal{D}_{0} = \left\{ \varphi \in \mathcal{D}: \int_{\mathbb {R}} \varphi (t) d t = 0\right\}$.

Пусть $\alpha : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — монотонно возрастающая бесконечно дифференцируемая функция.

Пусть $\alpha : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — финитная суммируемая по Лебегу функция. Доказать непрерывность оператора свёртки

в пространствах $\mathcal{D}$ и $\mathcal{E}$. Доказать непрерывность этого оператора в пространстве $\mathcal{S}$ в случае, когда $\alpha$ — измеримая быстро убывающая (т. е. $\sup \left\{ (1+\left|t\right|)^{n}\left|\alpha (t)\right|\right\} < \infty$ для любого $n = 0,1, \ldots$) функция.

Пусть $\omega_{-1,1}$ — функция из задачи 15.1 («шапочка»), $c = \int_{\mathbb {R}} \omega_{-1,1}(t) d t$, а $f \in C(\mathbb {R})$ и $\operatorname {supp} f \subset [-N, N]$. Доказать, что свёртка $\varphi_{\varepsilon }(t) = (c \varepsilon )^{-1} \int_{\mathbb {R}} f(s) \omega ((t-s) / \varepsilon ) d s$ лежит в пространстве $\mathcal{D}$, причём $\operatorname {supp} \varphi_{\varepsilon } \subset [-N-\varepsilon , N+\varepsilon ]$. Доказать, что $\varphi_{\varepsilon } \rightarrow f$ при $\varepsilon \rightarrow 0$ в пространстве $C(\mathbb {R})$. Верно ли, что $\varphi_{\varepsilon } \rightarrow f$ в пространстве $\mathcal{D}$ (в случае $f \in \mathcal{D})$?