Базисы Шаудера

Доказать линейность и непрерывность функционалов $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ в определении 10.3.

Определение 10.3. Система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ векторов нормированного пространства $X$ называется базисом Шаудера, если любой вектор $x \in X$ единственным образом раскладывается в ряд по векторам этой системы: $x = \sum_{k = 1}^{\infty } f_{k}(x) x_{k}$.

В каких из пространств $l_{p}, p \in [1, \infty ], c, c_{0}$ система $\left\{ e_{n} = \left(0,0, \ldots , 0, \frac{1}{n}, 0,0, \ldots \right)\right\}_{n = 1}^{\infty }$ является базисом Шаудера?

Пусть система $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Шаудера в рефлексивном пространстве $X$ и $\left\| e_{n}\right\| < C, n = 1,2, \ldots$ Доказать, что $e_{n} \rightharpoonup 0$.

Привести пример такой линейно независимой системы $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ в банаховом пространстве $X$, что любой вектор $x \in X$ раскладывается в ряд $x = \sum_{n = 1}^{\infty } c_{n} e_{n}$ по этой системе, но для некоторых векторов такое разложение не единственно.

Пусть система векторов $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ полна и минимальна в банаховом пространстве $X$, а $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ — биортогональная ей система. Доказать, что система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Шаудера тогда и только тогда, когда последовательность операторов $\left\{ L_{m}\right\}_{1}^{\infty } \subset \mathcal{B}(X)$, где $L_{m} x = \sum_{k = 1}^{m} f_{k}(x) x_{k}$, ограничена (слабо, сильно или по норме — это одно и тоже, см. задачу 7.67) в пространстве $\mathcal{B}(X)$.

Доказать, что в банаховом пространстве $X$ полная и минимальная система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ с биортогональной системой $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ является равномерно минимальной тогда и только тогда, когда

Пусть система векторов $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ банахова пространства $X$ является базисом Шаудера в $X$. Доказать, что она равномерно минимальна.

Доказать, что система $\left\{ t^{n}\right\}_{0}^{\infty }$ не является базисом Шаудера ни в одном из пространств $C[0,1]$ или $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty ]$.

Доказать, что система $\left\{ e^{i n t}\right\}_{-\infty }^{\infty }$ не является базисом Шаудера в пространстве $C_{\text{рег }}[0,2 \pi ]$.

Пусть система векторов $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ полна и минимальна в банаховом пространстве $X$, а $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ — биортогональная система. Доказать, что если $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ есть базис Шаудера в $X^{*}$, то система $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Шаудера в пространстве $X$. Привести пример такого базиса Шаудера $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ в банаховом пространстве $X$, что биортогональная система $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ не образует базис Шаудера в $X^{*}$.

Пусть система векторов $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Шаудера в банаховом пространстве $X$, а $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ — биортогональная система. В пространстве $X^{*}$ положим $Y = \overline{\operatorname {Lin}\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }}$. Доказать, что система $\left\{ f_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Шаудера в пространстве $Y$. Доказать, что для рефлексивного пространства $X$ справедливо равенство $Y = X^{*}$.

Пусть $\left\{ x_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ — базис Шаудера в банаховом пространстве $X$, а $y_{k} = T x_{k}$, где $T \in \mathcal{B}(X, Y)$. Доказать, что система $\left\{ y_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ является базисом Шаудера в $Y$ тогда и только тогда, когда оператор $T$ обратим.

Система $\left\{ \varphi_{k}\right\}_{0}^{\infty }$ Фабера-Шаудера функций на $[0,1]$ определяется равенствами $\varphi_{0}(x) = 1, \varphi_{1}(x) = x, \varphi_{k}(x) = 2\left\| \chi_{k}\right\|_{L_{\infty }} \int_{0}^{x} \chi_{k}(t) d t$, при $k \geqslant 2$, где $\left\{ \chi_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ — система Хаара (см. задачу 3.65). Доказать, что система Фабера-Шаудера является базисом Шаудера в $C[0,1]$.

Доказать, что система Фабера-Шаудера не является минимальной в пространствах $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty )$.

Построить базис Шаудера в пространстве $C^{n}[0,1], n \in \mathbb {N}$.

Доказать, что система Хаара является базисом Шаудера в пространствах $L_{p}[0,1], p \in [1, \infty )$.

Доказать, что система $\left\{ e^{i n t}\right\}_{-\infty }^{\infty }$ является базисом Шаудера в пространствах $L_{p}[0,2 \pi ], p \in (1, \infty )$.

Доказать, что система $\left\{ e^{i n t}\right\}_{-\infty }^{\infty }$ не является базисом Шаудера в пространстве $L_{1}[0,2 \pi ]$ (см. также задачу 10.29). Доказать, что система $\left\{ \sin (n t)\right\}_{1}^{\infty }$ не является базисом Шаудера в пространствах $L_{1}[0, \pi ]$ и

Доказать, что система $\left\{ e^{i n t}\right\}_{-\infty }^{\infty }$ полна и равномерно минимальна в пространствах $L_{p}[0,2 \pi ], p \in [1, \infty )$, и в пространстве $C_{\text{per }}[0,2 \pi ]$.

Доказать, что система $\left\{ \sin (n t)\right\}_{1}^{\infty }$ полна и равномерно минимальна в пространствах $L_{p}[0, \pi ], p \in [1, \infty )$, и в пространстве $C_{\text{per }}[0, \pi ]$.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — полная минимальная система в банаховом пространстве $X$, а $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — биортогональная система. Для произвольного $N \in \mathbb {N}$ и любого набора $\varepsilon = \left\{ \varepsilon_{n}\right\}_{n = 1}^{N}$ с $\varepsilon_{n} = \pm 1$ положим

Доказать, что система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ является безусловным базисом Шаудера (см. определение 10.4) тогда и только тогда, когда множество операторов $\left\{ B_{N, \varepsilon }\right\}$ ограничено (слабо, сильно или по норме — это одно и то же, см. задачу 7.67) в пространстве $\mathcal{B}(X)$.

Доказать, что если ряд в нормированном пространстве сходится безусловно, то все его перестановки имеют одну и ту же сумму.

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Рассмотрим формальный ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } x_{n}$, где система $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ ортогональна. Доказать, что если ряд сходится, то он сходится безусловно.

Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве ряд сходится безусловно тогда и только тогда, когда он сходится абсолютно.

Привести пример ряда в гильбертовом пространстве, сходящегося безусловно, но не абсолютно.

Привести пример ряда, сходящегося безусловно, но не абсолютно, в пространствах:

Привести пример ряда в $L_{2}[0,1]$, который при некоторой перестановке своих членов сходится к $x(t) \equiv 0$, при другой перестановке — к $x(t) \equiv 1$, но ни при какой перестановке не может сойтись к $x(t) \equiv 1 / 2$.

Доказать, что сумма абсолютно сходящегося ряда в банаховом пространстве не зависит от перестановки членов ряда.

Пусть ряд $\sum_{k = 1}^{\infty } x_{k}$ в банаховом пространстве сходится по Чезаро, т. е. существует $\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{S_{1}+S_{2}+\ldots +S_{n}}{n}$ (где $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} x_{k}$). Доказать, что если $\left\| x_{n}\right\| = o\left(\frac{1}{n}\right)$, то ряд сходится по норме.

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — нормированный базис Шаудера $(\left\| e_{n}\right\| = 1)$ в банаховом пространстве $X$. Определим оператор $A$ на базисе по правилу $A e_{n} = \lambda_{n} e_{n}, n \in \mathbb {N}$, где $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — ограниченная последовательность комплексных чисел. Доказать, что $A$ единственным образом продолжается до линейного ограниченного оператора $\hat{A}$ на всё пространство $X$.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства, и $A$ — линейный ограниченный и ограниченно обратимый оператор из $X$ в $Y$. Доказать, что $A$ сохраняет следующие свойства систем векторов: линейную независимость, линейную зависимость, минимальность, равномерную минимальность, полноту, базисность, безусловную базисность.

(М. Г. Крейн, Д. П. Мильман, М. А. Рутман, 1940). Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ — базис Шаудера в банаховом пространстве $X,\left\| x_{n}\right\| = 1$ и $\sup_{n \in \mathbb {N}}\left\| P_{n}\right\| = C$, где $P_{n} x = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} x_{k}$ — частичная сумма разложения вектора $x$. Пусть система $\left\{ y_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ векторов в $X$ обладает свойством $\sum_{k = 1}^{\infty }\left\| x_{k}-y_{k}\right\| < C / 2$. Доказать, что $\left\{ y_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ также есть базис Шаудера в $X$.