Функциональное исчисление, построенное по самосопряжённому оператору

Доказать, что для самосопряжённого оператора $A$ в гильбертовом пространстве и многочлена $p(x)$

Привести пример, показывающий, что для произвольного несамосопряжённого оператора это утверждение неверно. Доказать это утверждение для произвольного нормального оператора $A$ (использовать задачу 12.35).

Пусть $A = A^{*}$ и $\sigma (A) = \left\{ 0 ; 1\right\}$. Доказать, что оператор $A$ ортопроектор.

Пусть $A = A^{*}$ и $\sigma (A) = \left\{ -1 ; 1\right\}$. Найти $A^{-1}$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор и $\lambda \in \rho (A)$. Доказать, что справедлива оценка $\left\| R_{\lambda }(A)\right\| \leqslant \frac{1}{\operatorname {dist}(\lambda , \sigma (A))}:$

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор. Доказать, что его преобразование Кэли

определено и является унитарным оператором. Доказать, что $A = i(I+U)(I-U)^{-1}$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор в $H$. Положим $U(t): = \exp (i t A) = \sum_{k = 0}^{\infty } \frac{(i t A)^{k}}{k!}, t \in \mathbb {C}$. Доказать, что $U(t)$ является голоморфной операторной группой с генератором $A$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор в $H, \varphi_{[a, b]}$ и $\varphi_{[c, d]}$ — функциональные исчисления для непрерывных функций на отрезках $[a, b]$ и $[c, d]$, причём $a \leqslant c < d \leqslant b$ и $\sigma (A) \subset [c, d], \tau : C[a, b] \rightarrow C[c, d]$ — оператор сужения. Доказать, что $\varphi_{[a, b]} = \varphi_{[c, d]} \tau$, т. е. функциональные исчисления на указанных отрезках согласованы.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор в $H$. Доказать согласованность функциональных исчислений непрерывных и голоморфных функций. А именно, если $f$ — голоморфная функция в круге, содержащем $\sigma (A)$, то оператор $f(A)$, построенный в соответствии с теоремой 13.1, совпадает с оператором, построенным в соответствии с теоремой 13.2.

Пусть $H$ — бесконечномерное гильбертово пространство, $A$ — самосопряжённый оператор. Доказать, что если $A$ компактен, а $f$ — функция, определённая и непрерывная на $\sigma (A)$, то оператор $f(A)$ компактен тогда и только тогда, когда $f(0) = 0$ (сравните с задачей 11.19).

Пусть $f \in C(\mathbb {R})$ и $H$ — гильбертово пространство. Найти $f(A)$ в случае:

Пусть $A$ — самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве $H$ и $f \in C(\mathbb {R})$. Найти матрицу оператора $f(A)$ в базисе из собственных векторов оператора $A$ (см. теорему 12.3).

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $A$ — ограниченный самосопряжённый оператор в $H, \sigma (A) \subset [a, b]$ и $f \in C[a, b]$. Доказать, что для функционального исчисления, построенного по оператору $A$ на отрезке $[a, b]$, справедлива теорема об отображении спектров: $\sigma (f(A)) = f(\sigma (A))$.

Пусть $A$ и $B$ — подобные самосопряжённые операторы в $\mathcal{B}(H)$, где $H$ — гильбертово пространство (т. е. $A C = C B$ для некоторого $C \in \mathcal{I B}(H)$). Пусть отрезок $[a, b]$ содержит спектры операторов $A$ и $B$. Доказать, что для любой $f \in C[a, b]$ операторы $f(A)$ и $f(B)$ подобны, причём подобие осуществляется посредством того же оператора $C$.

Пусть $A \geqslant 0$ в гильбертовом пространстве $H$, и непрерывная на отрезке $[a, b] \supseteq \sigma (A)$ функция $f$ также неотрицательна. Доказать, что $f(A) \geqslant 0$.

Пусть ограниченные самосопряжённые операторы $A$ и $B$, действующие в гильбертовых пространствах $H_{1}$ и $H_{2}$ соответственно, подобны. Доказать, что они унитарно эквивалентны, т. е. оператор $U \in \mathcal{B}\left(H_{1}, H_{2}\right)$, осуществляющий подобие $(U A = B U)$, является изометрическим изоморфизмом.

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$, отрезок $[a, b]$ содержит $\sigma (A)$. Доказать, что

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что $\left|A\right| = \sqrt{A^{2}}$. Доказать, что полярное разложение самосопряжённого оператора в $H$ имеет вид $A = \left|A\right| W = W\left|A\right|$, где $W$ — частичная изометрия (см. определения 8.8 и 8.6).

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H, f \in C[a, b]$ — вещественнозначная функция. Доказать, что ¹

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H, f \in C[a, b]$ — вещественнозначная функция. Доказать, что

Построить функциональное исчисление (для непрерывных функций) от унитарного оператора $U$ в гильбертовом пространстве $H$. А именно, доказать, что существует единственный непрерывный гомоморфизм $\varphi$ алгебры $C(\sigma (U))$ в $\mathcal{B}(H)$, обладающий свойствами (1)-(4):

1. $\varphi (f(x) \equiv 1) = I$;

2. $\varphi (f(x) \equiv x) = U$;

3. $\varphi (f+g) = \varphi (f)+\varphi (g), \varphi (f g) = \varphi (f) \circ \varphi (g)$ (условия гомоморфизма);

4. $\varphi$ — линейный непрерывный оператор из $C(\sigma (U))$ в $\mathcal{B}(H)$ (т. е. если последовательность функций $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ из $C(\sigma (U))$ сходится к $f \in C(\sigma (U))$, то $f_{n}(U) \rightrightarrows f(U)$). Этот гомоморфизм также обладает свойствами

5. $(\varphi (f))^{*} = \varphi (g)$, где $g(x) = \bar{f}(1 / x)$;

6. $\left\| \varphi (f)\right\|_{\mathcal{B}(H)} = \max_{t \in \sigma (U)}\left|f(t)\right|$ (усиление свойства непрерывности гомоморфизма $\varphi$);

7. если некоторый ограниченный оператор $V$ коммутирует с $U$, то он коммутирует и с любым оператором $f(U)$.