Банк задач по математике

Задача 11.90

Доказать, что общее решение уравнения

x(t)-\int _{a}^{b}\left(\sum _{i = 1}^{n} p_{i}(t) q_{i}(s)\right) x(s) d s = y(t)

(относительно функции $x$ при известной $y$ ) имеет вид

x(t) = \sum _{i = 1}^{n} c_{i} p_{i}(t)+y(t)

здесь $c_{i} \in \mathbb {C}, 1 \leqslant i \leqslant n$ , являются решениями системы уравнений

\sum _{j = 1}^{n} a_{i j} c_{j} = b_{i}, \quad i = 1, \ldots , n

где коэффициенты $a_{i j}$ и $b_{i}$ зависят от $y, p_{i}$ и $q_{i}$ . Сформулировать альтернативу Фредгольма в терминах матрицы $a_{i j}$ и правой части $b_{i}$ . Функции $p_{i}$ считать линейно независимыми.

?

Задача 11.91

(а)(б)

В пространстве $C[0,1]$ найти решение следующих интегральных уравнений при всех значениях комплексных параметров $\lambda , \alpha , \beta$ и $\gamma$ :

?

(а)

$x(t)-\lambda \int_{0}^{1} t s x(s) d s = \alpha +\beta t+\gamma t^{2}$ ;

(б)

$x(t)-\lambda \int_{0}^{1}\left(t s+t^{2} s^{2}\right) x(s) d s = \alpha t$ .

Задача 11.92

(а)(б)

В пространстве $C[0, \pi ]$ найти решение следующих интегральных уравнений при всех значениях комплексных параметров $\lambda , \alpha$ и $\beta$ :

?

(а)

$x(t)-\lambda \int_{0}^{\pi } \cos (t-s) x(s) d s = \alpha \sin t+\beta \cos t ;$

(б)

$x(t)-\lambda \int_{0}^{\pi } \cos (t+s) x(s) d s = \alpha \sin t+\beta \cos t$ .

Задача 11.93

При каких условиях на функцию $y \in L_{2}[0, \pi ]$ и параметр $\lambda \in \mathbb {C}$ уравнение

x(t)+\lambda \int _{0}^{\pi } \sin (t-s) x(s) d s = y(t)

имеет единственное решение в пространстве $L_{2}[0, \pi ]$ ?

?

Задача 11.94

Найти все $\beta \in \mathbb {R}$ , для каждого из которых уравнение

x(t)+\int _{0}^{1}(1+\alpha t s) x(s) d s = \beta +t^{2}

разрешимо в $L_{2}[0,1]$ при любом $\alpha \in \mathbb {R}$ .

?

Задача 11.95

(а)(б)

В пространстве $L_{2}[0,1]$ найти решение следующих интегральных уравнений при всех значениях комплексных параметров $\lambda , a$ и $b$ :

?

(а)

$x(t)-\lambda \int_{0}^{1} 3 t s x(s) d s = a t+4 t^{2}$ ;

(б)

$x(t)-\lambda \int_{0}^{1} 5 t^{2} s^{2} x(s) d s = 4 t+b t^{2}$ .

Задача 11.96

(а)(б)

В пространстве $L_{2}[0,1]$ найти решение следующих интегральных уравнений при всех значениях $\lambda \in \mathbb {C}$ :

?

(а)

$x(t)-\lambda \int_{0}^{1} \min (t, s) x(s) d s = 0$ ;

(б)

$x(t)+\lambda \int_{0}^{1} \max (t, s) x(s) d s = 0$ .

Задача 11.97

(а)(б)

В пространстве $L_{2}[0,1]$ найти решение интегрального уравнения при всех значениях $\lambda \in \mathbb {C}$ :

x(t)+\lambda \int _{0}^{1}(t s-\min (t, s)) x(s) d s = y(t)

если

?

(а)

$y(t) = t$ ;

(б)

$y(t) = \sin 2 \pi t$ .

Задача 11.98

(а)(б)

В пространстве $L_{2}[0,1]$ найти решение интегрального уравнения при всех значениях $\lambda \in \mathbb {C}$ :

x(t)+\lambda \int _{0}^{1}\left(\frac{1}{2}-\left|t-s\right|\right) x(s) d s = y(t)

если

?

(а)

$y(t) = \cos \pi t$ ;

(б)

$y(t) = \cos 2 \pi t$ .

Задача 11.99

(а)(б)

В пространстве $L_{2}[0,1]$ найти решение интегрального уравнения при всех значениях $\lambda \in \mathbb {C}$ :

x(t)+\lambda \int _{0}^{1}(t s+\max (t, s)) x(s) d s = y(t)

если

?

(а)

$y(t) = \cos \pi t$ ;

(б)

$y(t) = \cos 2 \pi t$ .

Задача 11.100

(а)(б)(в)

Разрешимо ли уравнение Фредгольма первого рода

\int _{0}^{t}(t-s) x(s) d s = y(t)

где

?

(а)

$y(t) = \sin t$ ;

(б)

$y(t) = \cos t$ ;

(в)

$y(t) = \sin^{2} t$ в пространствах $C[0, \pi ] ; L_{p}[0, \pi ], p \in [1, \infty ]$ ?

Интегральные уравнения