Спектральная теорема в терминах интеграла Лебега—Стилтьеса

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$ и пусть $f, g \in C(\mathbb {R})$ — две функции, тождественно совпадающие на луче $t \leqslant \lambda$. Доказать, что $(f(A)-g(A)) E_{\lambda } = 0$.

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$, а $E_{\lambda }$ — разложение единицы для оператора $A$. Доказать следующие свойства:

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что семейство подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с оператором $A$, обладает следующими свойствами:

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что:

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что если $\lambda \in \sigma_{\text{ess }}(A)$ (см. определение 12.4) или $\lambda \in \sigma_{\mathrm{c}}(A)$, то у оператора $A-\lambda I$ существует ортонормированная последовательность Вейля (сравнить с задачей 12.30).

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что

Доказать, что если $\lambda \in \sigma (A) \backslash \sigma_{\mathrm{ess}}(A)$, то $\lambda$ — изолированное собственное значение оператора $A$ конечной кратности.

Найти семейство проекторов $E_{\lambda }$ и подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с оператором $P$ ортогонального проектирования на некоторое подпространство $Y \subset H$.

Найти семейство проекторов $E_{\lambda }$ и подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с оператором $A$, заданным в $l_{2}(n)$ матрицей

где все числа $\lambda_{i}, i = 1, \ldots , n$, вещественны и попарно различны. Как изменится ответ, если среди чисел $\lambda_{i}$ есть одинаковые?

Найти семейство проекторов $E_{\lambda }$ и подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с оператором $A: L_{2}[0,1] \rightarrow L_{2}[0,1],(A x)(t) = t x(t)$.

Найти семейство проекторов $E_{\lambda }$ и подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с оператором $A\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) = \left(\lambda_{1} x_{1}, \lambda_{2} x_{2}, \ldots \right)$ в пространстве $l_{2}$, где $\left\{ \lambda_{k}\right\}_{1}^{\infty }$ — ограниченная вещественная последовательность.

Найти семейство проекторов $E_{\lambda }$ и подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с оператором, заданным матрицей:

Пусть $a$ — непрерывная строго возрастающая функция на $[0,1]$. Найти семейство проекторов $E_{\lambda }$ и подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с оператором $A: L_{2}[0,1] \rightarrow L_{2}[0,1], A x(t) = a(t) x(t)$.

Описать семейство проекторов $E_{\lambda }$ и подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с самосопряжённым компактным оператором $A$ в гильбертовом пространстве (в терминах собственных значений и собственных векторов).

Найти семейство проекторов $E_{\lambda }$ и подпространств $H_{\lambda }$, ассоциированных с оператором $A \in \mathcal{B}\left(L_{2}[-1,1]\right),(A x)(t) = t^{2} x(-t)$.

Пусть $A$ — ограниченный оператор в гильбертовом пространстве $H$ и для любого ортонормированного базиса $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ в $H$ выполнено $\left\| A e_{n}\right\| \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что оператор $A$ компактен (ср. с задачами 11.54 и 11.45).

Доказать, что любой самосопряжённый оператор $A$ в гильбертовом пространстве $H$ можно с любой точностью приблизить конечными линейными комбинациями ортогональных проекторов в пространстве $\mathcal{B}(H)$.

Пусть $A$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $H$, а $B$ — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве $K$. Пусть $H_{\lambda }$ и $K_{\lambda }$ — семейства подпространств, ассоциированные с операторами $A$ и $B$. Доказать, что операторы $A$ и $B$ подобны (унитарно эквивалентны), т. е. $B C = C A$ для некоторого $C \in \mathcal{I B}(H, K)$ ($C$ — унитарный оператор из $H$ в $K$) тогда и только тогда, когда $C$ осуществляет биекцию (унитарный изоморфизм) $H_{\lambda }$ и $K_{\lambda }$ для любого $\lambda \in \mathbb {R}$.

Пусть $U$ — унитарный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что существует единственная проекторнозначная мера $E_{\lambda }$ на окружности $\mathbb {T} = \left\{ z \in \mathbb {C}:\left|z\right| = 1\right\}$ со значениями в $\mathcal{B}(H)$, для которой справедливо равенство

для любой борелевской ограниченной функции $f$ на $\mathbb {T}$.

Пусть $U$ — унитарный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что $\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} U^{k} \xrightarrow {s} P$, где $P$ — ортопроектор на подпространство $\operatorname {Ker}(U-I)$. странство $\operatorname {Ker}(U-I)$.

Пусть $A$ и $B$ — самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве $H$ и $E_{\lambda }, F_{\mu }$ — их разложения единицы соответственно. Доказать, что $A$ и $B$ коммутируют тогда и только тогда, когда $E_{\lambda } F_{\mu } = F_{\mu } E_{\lambda }$ для любых $\lambda , \mu \in \mathbb {R}$.

Пусть $\mathcal{M}_{1}$ и $\mathcal{M}_{2}$ — полные метрические сепарабельные пространства, $\Sigma_{1}$ и $\Sigma_{2}-\sigma$-алгебры борелевских множеств на этих пространствах. Пусть на $(\mathcal{M}_{1}, \Sigma_{1})$ и $(\mathcal{M}_{2}, \Sigma_{2})$ заданы соответственно борелевские разложения единиц $E^{(1)}$ и $E^{(2)}$, значениями которых являются ортогональные проекторы в одном и том же гильбертовом пространстве $H$. Пусть эти разложения единиц коммутируют, т. е. для всех $\Omega_{i} \in \Sigma_{i}(i = 1,2) E^{(1)}\left(\Omega_{1}\right) E^{(2)}\left(\Omega_{2}\right) = E^{(2)}\left(\Omega_{2}\right) E^{(1)}\left(\Omega_{1}\right)$. На декартовом произведении $\mathcal{M}: = \mathcal{M}_{1} \times \mathcal{M}_{2}$ определим $\Sigma$ — борелевскую $\sigma$-алгебру подмножеств, содержащую все «прямоугольники» вида $\Omega_{1} \times \Omega_{2}$. Доказать, что на $(\mathcal{M}, \Sigma )$ существует единственное разложение единицы, определяемое условием

где $\Omega_{i} \in \Sigma_{i}, i = 1,2$.

Пусть $A = A_{\mathrm{re}}+i A_{\mathrm{im}}$ — ограниченный нормальный оператор в гильбертовом пространстве $H, \Pi : = \sigma \left(A_{\mathrm{re}}\right)+i \sigma \left(A_{\mathrm{im}}\right)$. Доказать, что существует такое разложение единицы $E$, определённое на борелевских подмножествах П, что $A = \int_{\Pi } \lambda d E_{\lambda }$, где интеграл понимается в смысле Лебега-Стилтьеса (см. преамбулу этого параграфа).

Пусть $A$ — ограниченный нормальный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что

Пусть $A = A_{\mathrm{re}}+i A_{\mathrm{im}}$ — ограниченный нормальный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что $\sigma (A) \subseteq \sigma \left(A_{\mathrm{re}}\right) + i \sigma \left(A_{\mathrm{im}}\right)$. Привести примеры нормальных операторов, для которых

Пусть $A$ — унитарный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что $\sigma (A) \subseteq \sigma \left(A_{\mathrm{re}}\right)+i \sigma \left(A_{\mathrm{im}}\right)$.