*-слабая топология в сопряжённом пространстве

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что *-слабая топология $* w$ в $X^{*}$ порождается некоторым набором полунорм (т.е. $(X^{*}, * w)$ — полинормированное пространство).

Доказать, что последовательность $\left\{ f_{n}\right\}_{1}^{\infty } \subset X^{*} *$-слабо сходится тогда и только тогда, когда она сходится в *-слабой топологии.

Пусть $X$ — конечномерное нормированное пространство. Доказать, что *-слабая топология в $X^{*}$ совпадает с топологией нормы.

Пусть $X$ — бесконечномерное нормированное пространство. Доказать, что *-слабая топология в $X^{*}$ строго слабее топологии нормы.

Пусть $X$ — нормированное пространство. В пространстве $X^{*}$ рассмотрим слабую топологию (она вводится стандартным образом, при помощи функционалов из $X^{* *}$). Доказать, что если $X$ нерефлексивно, то в $X^{*}$ *-слабая топология слабее слабой топологии. Доказать, что в случае рефлексивного пространства эти топологии совпадают.

Пусть $X$ — бесконечномерное нормированное пространство. Доказать, что всякая окрестность нуля в *-слабой топологии пространства $X^{*}$ содержит бесконечномерное подпространство.

Доказать, что для любого нормированного пространства *-слабая топология в сопряжённом пространстве хаусдорфова.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что для любого линейного функционала $F$ на $X^{*}$, непрерывного в *-слабой топологии, существует такой вектор $x$ из $X$, что $F(f) = f(x)$ для любого $f \in X^{*}$.

Привести пример нормированного пространства $X$ и замкнутого подпространства $X_{0} \subset X^{*}$ такого, что $X_{0}$ замкнуто относительно нормы, но не замкнуто в *-слабой топологии.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Доказать, что из сепарабельности $X^{*}$ относительно нормы следует $*$-слабая сепарабельность. Привести контрпример к обратному утверждению.

Пусть $X$ — сепарабельное нормированное пространство. Доказать, что *-слабая топология в единичном шаре пространства $X^{*}$ метризуема.

Пусть $X$ — банахово пространство. Доказать, что пространство $X^{*}$ метризуемо в $*$-слабой топологии тогда и только тогда, когда $\operatorname {dim} X < \infty$.

Доказать теорему 14.5 Банаха-Алаоглу для сепарабельного пространства $X$.

Теорема 14.5 (С. Банах, Л. Алаоглу): пусть $X$ — линейное нормированное пространство. Тогда замкнутый единичный шар пространства $X^{*}$ компактен в $*$-слабой топологии.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Обозначим $Y = \pi (X)$, где $\pi : X \rightarrow X^{* *}$ — каноническое вложение. Доказать, что отображение $\pi$ является изоморфизмом (т.е. непрерывно, биективно и имеет обратное отображение, которое также непрерывно) топологических пространств $(X, w)$ и $(Y, * w)$, где $X$ — пространство со слабой топологией, $Y$ — пространство с топологией, индуцированной из $\left(X^{* *}, * w\right)$, а $* w$ — *-слабая топология. Доказать, что замыкание подпространства $Y$ в этой топологии есть всё пространство $X^{* *}$.

Доказать теорему 14.4 в случае, когда $X^{*}$ сепарабельно.

Доказать, что в рефлексивном бесконечномерном банаховом пространстве слабая сходимость не совпадает со сходимостью по норме.

Доказать, что замкнутое подпространство рефлексивного нормированного пространства рефлексивно.

Доказать, что любое замкнутое подпространство рефлексивного нормированного пространства является подпространством существования (см. определение 2.17).

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, $A: X \rightarrow Y$ — линейный оператор, непрерывный относительно слабых топологий. Доказать, что $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ (сравните с задачей 7.77).

Доказать, что каждое из пространств $c, c_{0}, C[0,1], L_{1}[0,1]$ не является изометрически изоморфным никакому пространству, сопряженному к нормированному.